Povrch hranolu. Plocha základny a boční plochy. Základní plocha trojúhelníkového hranolu

V prostorové geometrii je při řešení problémů s hranoly často problém s výpočtem plochy stran nebo ploch, které tvoří tyto trojrozměrné tvary. Tento článek je věnován otázce určení oblasti základny hranolu a jeho bočního povrchu.

Prismová postava

Předtím, než přistoupíme k úvahám o vzorcích pro základní plochu a povrch prismu jednoho či druhého, je nutné zjistit, která číslica je dotčena.

Prizma v geometrii je prostorová postava sestávající ze dvou rovnoběžných polygonů, které jsou stejné a několika čtverečků nebo paralelogramů. Číslo druhého je vždy stejné jako počet vrcholů jednoho polygonu. Například pokud je číslo tvořeno dvěma paralelními n-gony, počet paralelogramů bude n.

Paralelogram spojující n-gony se nazývá strany hranolu a jejich celková plocha je plocha bočního povrchu postavy. Samotné n-gony se nazývají základy.

Výše uvedený obrázek ukazuje příklad z hranolového papíru. Žlutý obdélník je jeho horní základna. Na druhém je stejná základní postava. Červené a zelené obdélníky jsou boční plochy.

Jaké hranoly existují?

Existuje několik typů hranolů. Všechny se vzájemně liší pouze dvěma parametry:

• typ n-gon, tvořící základ;
• úhel mezi n-gonem a bočními plochami.

Například, pokud jsou základy trojúhelníky, pak hranol je nazýván trojúhelníkem, jestliže kvadrilaterály, stejně jako v předchozím obrázku, se tento údaj nazývá čtyřhranný hranol a tak dále. Navíc, n-gon může být konvexní nebo konkávní, pak je tato vlastnost přidána také k názvu hranolu.

Úhel mezi bočními plochami a základnou může být buď přímý, ostrý nebo tupý. V prvním případě hovoří o pravoúhlém hranolu, v druhém - o skloněném nebo šikmém.

Ve zvláštním typu čísel vymezte správný hranol. Mají nejvyšší symetrii mezi ostatními hranoly. Bude to správné, pouze pokud je pravoúhlý a jeho základ je pravidelný n-gon. Níže uvedený obrázek ukazuje soubor správných hranolů, ve kterých se počet stran n-gonu pohybuje od tří do osmi.

Prismový povrch

Pod povrchem uvažovaných osobností libovolného typu rozumíme souhrn všech bodů, které patří k tvářím hranolu. Povrch hranolu je vhodný ke studiu, vzhledem k jeho vývoji. Níže je příklad takového zametání pro trojúhelníkový hranol.

Je vidět, že celý povrch je tvořen dvěma trojúhelníky a třemi obdélníky.

V případě obecného typového hranolu se jeho povrch skládá ze dvou n-uhlíkových základů a n čtyřúhelníků.

Podívejme se podrobněji na otázku výpočtu rozměru hranolů různých typů.

Základní plocha hranolu je správná

Snad nejjednodušší úkol při práci s hranolky je problém nalezení plochy základny správné postavy. Vzhledem k tomu, že je tvořen n-gonem, ve kterém jsou všechny úhly a délky stran stejné, může být vždy rozdělen do stejných trojúhelníků, ve kterých jsou známé úhly a strany. Celková plocha trojúhelníků bude oblastí n-gonu.

Dalším způsobem, jak určit část plochy povrchu hranolu (báze), je použít známý vzorec. Má následující formu:

S _n = n / 4 * a ² * ctg (pi / n)

To znamená, že oblast S _n n-gonu je jednoznačně určena na základě znalosti délky jeho strany a. Některé obtíže při výpočtu vzorce mohou být výpočty kotangentu, zvláště když n> 4 (pro n≤4, kotangentní hodnoty jsou tabulkové údaje). K určení této trigonometrické funkce se doporučuje použít kalkulačku.

Při formulaci geometrického problému je třeba dbát na to, protože může být nutné najít oblast základů hranolu. Hodnota získaná vzorem by měla být násobena dvěma.

Základní plocha trojúhelníkového hranolu

Použitím příkladu trojúhelníkového hranolu zvažujeme, jak najít plochu základny tohoto obrázku.

Za prvé, zvažte jednoduchý případ - správný hranol. Plocha základny je vypočtena podle vzorce uvedeného v odstavci výše, musíte do ní n = 3 nahradit. Máme:

S ₃ = 3/4 * a ² * ctg (pi / 3) = 3/4 * a ² * 1 / √3 = √ 3/4 * a ²

Zbývá nahradit konkrétní hodnoty délky a strany rovnostranného trojúhelníku do výrazu, aby se dostala plocha jedné základny.

Teď předpokládejme, že existuje hranol, jehož základ je libovolný trojúhelník. Jeho dvě strany, a a b, a úhel mezi nimi, α, jsou známy. Toto číslo je uvedeno níže.

Jak v tomto případě najdeme plochu základny hranolu trojúhelník? Je třeba si uvědomit, že plocha kteréhokoli trojúhelníku se rovná polovině výrobku na straně a výšce spuštěné na této straně. Na obrázku je zobrazena výška h na straně b. Délka h odpovídá produkci sinusu úhlu alfa a délky strany a. Pak se plocha celého trojúhelníku rovná:

S = 1/2 * b * h = 1/2 * b * a * sin (α)

Toto je oblast základny znázorněného trojúhelníkového hranolu.

Boční plocha

Vyřešili jsme, jak najít oblast základny hranolu. Boční plocha tohoto obrázku vždy sestává z paralelogramů. U přímých hranolů se paralelogramy stávají obdélníky, takže jejich celková plocha je snadná pro výpočet:

S = Σi _{= 1} ⁿ (a _i * b)

Zde b je délka boční hrany, a _i je délka strany i-tého obdélníku, který se shoduje s délkou strany n-gonu. V případě pravidelného n-úhlu hranolu získáváme jednoduchý výraz:

S = n * a * b

Pokud je hranol nakloněn, pak pro určení plochy jeho bočního povrchu proveďte kolmý řez, vypočítat jeho obvod P _sr a vynásobit ho délkou bočního okraje.

Obrázek nahoře ukazuje, jak vytvořit tento řez pro šikmý pětiúhelníkový hranol.