Co je to kužel? Koncept a fotografie

Stereometrie je důležitá část geometrie, jejíž předmět studie jsou vlastnosti a charakteristiky obrazů v trojrozměrném prostoru. V tomto článku budeme zvažovat jednu z takových objemových čísel. Seznamte se s otázkou, co je to kužel.

Obrázek kužele

Uvádíme nejobecnější definici kužele. Pod tímto číslem rozumíme povrch, který vzniká v důsledku spojení přímých segmentů určitého bodu v prostoru se všemi body dané křivky. V tomto případě by určený bod v prostoru neměl být v rovině křivky. Pokud má například křivka tvar paraboly, pak se hodnota získaná popsanou metodou nazývá parabolický kužel, pokud je křivka elipsou, kužel bude eliptický a tak dále.

Po zadání geometrické definice toho, co je kužel, předkládáme fotografii, která zobrazuje vizuálně možné formy této postavy.

Při pohledu na tuto fotku viděli mnozí v podobě dětského klobouku, který měl na sobě Buratino, šálku na vafle ze zmrzliny ve tvaru rohu nebo varovného oranžového a černě pruhovaného silničního kužele.

Geometrické prvky kuželu

Abychom lépe porozuměli otázce, co je to kužel, je třeba uvést geometrické názvy prvků této prostorové postavy.

Kužel je ohraničen dvěma plochami. První se nazývá základna. Je to rovina, která je ohraničena výše uvedenou křivkou. Například může to být kruh nebo elipsa. Druhý povrch je stranou tvaru a nazývá se kuželovitým. Neleží ve stejné rovině, ale může se změnit na plochou postavu, jak bude popsáno níže.

Jedním z důležitých prvků kužele je jeho vrchol. Tento bod ohraničuje kuželový povrch. Všechny body základní křivky jsou k němu připojeny.

Segment, který spojuje horní část základny, tzv. Generatrix, nebo tvořící kužel. Na druhé straně křivka ohraničující základnu byla nazývána direktorem nebo vodítkem.

Plochy kuželové plochy a základny se přidávají až k celkové ploše kužele. Objem prostoru, který tyto dvě plochy omezuje, je objem kužele.

Kruhový přímý kužel a jeho lineární charakteristiky

Nahoře byla dána obecná definice toho, co kužel. Nicméně, často v praxi a v geometrických problémech, existuje určitá forma této postavy - přímý kruhový kužel. To je zobrazeno níže.

Základem tohoto čísla je kruh. Označuje se jako přímá, protože kolmice klesá k jeho základně z výšky, protíná kruh ve svém přesném středu. Pokud by tato podmínka nebyla splněna, můžeme mluvit o nakloněném kuželu.

Řádek, který spojuje vrchol se středem kruhu, se nazývá osa obrázku. Je to také osa otáčení kužele. Když vezmete pravý trojúhelník a začnete ho otáčet kolem jedné nohy, výsledná postava bude mít přímý kužel s kruhovou základnou. Tento způsob získání kužele je schematicky znázorněn níže.

Je vidět, že generátor bude rovnat délce hypotenze trojúhelníku. Noha, kolem níž se rotace uskutečnila, se stane výškou pro trojrozměrnou postavu a druhá noha se bude rovnat poloměru kužele (poloměr kruhové základny).

Jedním z důležitých rysů daného čísla je, že délky všech generátorů pro něj jsou stejné. Tento fakt nám umožňuje pomocí pythagorské věty napsat matematické spojení mezi třemi hlavními lineárními parametry tvaru:

g ² = r ² + h ²

Čtverec generátoru přímého kruhového kužele g se rovná součtu čtverců s poloměrem r a výškou h.

Po prozkoumání otázky, jaký je kužel přímočarý s kruhovou základnou, ukážeme, jak je možné jeho plochu a objem.

Stanovení plochy povrchu

Jak již bylo uvedeno, povrch obrázku je tvořen kónickým povrchem a plochou základnou. Jaká je jejich oblast? S důvěrou můžete odpovědět na tuto otázku, pokud se podíváte na ploché skenování kruhového kužele. Při řezání základny z bočního povrchu a při řezání podél generátoru jsme získali následující výsledek.

Neexistují žádné problémy s určením oblasti kruhu. Formulář pro jeho oblast je pro každého studenta obeznámen. Napište jej:

S _o = pi * r ²

Symbol S _o je oblast základny obrázku.

Boční plocha kužele na plochém skenování představuje kruhový sektor, jehož poloměr je stejný jako délka generátoru, a délka oblouku, na němž spočívá sektor, je roven délce základního obvodu. Tyto údaje nám umožňují jednoznačně určit oblast odvětví. Nebudeme provádět průběžné výpočty pro získání vzorce pro čtverec Sb bočního povrchu kužele. Napsali jsme konečný výsledek:

Sb = pi * g * r

Vzhledem k tomu, že generace g je vždy větší než poloměr r, bude plocha bočního povrchu obrázku pro jakékoliv parametry větší než plocha základny.

Vzorec pro celkovou plochu má podobu:

S = _S0 + Sb = pi * r * (r + g)

Určení objemu obrázku

Čtenáři si možná všimli, že tvar kužele připomíná něco pyramidy, pouze jeho boční povrch je hladký a ne žebrovaný jako pyramida. Tato analogie má geometrické ospravedlnění, protože nárůst počtu bočních ploch pyramidy na nekonečno je překládá do kužele. Tato skutečnost umožňuje zaznamenat pro objem kužele přesně stejný vzorec jako pro objem pyramidy. Máme:

V = 1/3 * h * S _o

Všimněte si, že nezáleží na tom, která uzavřená křivka tvoří základ kužele, a nezáleží na tom, zda je obrázek rovný nebo šikmý, bude vzorec platný ve všech těchto případech.

Pro kužel kola, výraz pro V přebírá určitou formu:

V = 1/3 * pi * r ^{2 *} h

Úkol určení oblasti kužele přes jeho objem

Ukážeme, jak používat psané vzorce.

Předpokládejme, že objem kulového kužele je 50 cm3. Je-li poloměr r třikrát menší než výška h, je třeba vypočítat jeho plochu.

Napíšeme vzorec pro objem a vztah výšky h s poloměrem r v souladu s podmínkou problému:

V = 1/3 * pi * r ^{2 *} h;

h = 3 * r.

Z těchto rovnic získáváme:

V = 1/3 * pi * r ² * 3 * r =>

r = (V / pi) ≈ 2,516 cm;

h = 3 * ∛ (V / pi) ≈ 7,547 cm.

Získané hodnoty nám umožňují vypočítat délku generátoru generátoru kužele g:

g = √ (h ² + r ² ) = 7,955 cm.

Vzorec pro plochu obrázku je:

S = pi * r * (r + g)

Stanovili jsme všechna potřebná množství (r a g). Při nahrazení jejich číselných hodnot do rovnosti dostaneme odpověď: S = 82,72 cm ² .