Najděte obvod trojúhelníku různými způsoby.
Obvod každého trojúhelníku je délka čáry ohraničující tvar. Pro výpočet je třeba znát součet všech stran tohoto polygonu.
Výpočet z těchto stran délky
Když je jejich význam znám, je to snadné. Označením těchto parametrů písmeny m, n, k a obvodu písmenem P získáme vzorec pro výpočet: P = m + n + k. Úloha: Je známo, že trojúhelník má strany délky 13,5 decimetrů, 12,1 decimetrů a 4,2 desetin. Zjistěte obvod. Řešíme: Pokud jsou strany daného polygonu a = 13,5 dm, b = 12,1 dm, c = 4,2 dm, pak P = 29,8 dm. Odpověď: P = 29,8 dm.
Obvod trojúhelníku, který má dvě stejné strany
Takový trojúhelník se nazývá isosceles. Pokud jsou tyto stejné strany dlouhé centimetry a třetí strana b centimetry dlouhé, obvod je snadno rozpoznatelný: P = b + 2a. Úloha: trojúhelník má dvě strany desetiny, základ 12 decimetrů. Najít P. Řešení: Nechte stranu a = c = 10 dm, základna b = 12 dm. Součet stran je P = 10 dm + 12 dm + 10 dm = 32 dm. Odpověď: P = 32 decimetrů.
Obvod rovnostranného trojúhelníku
Pokud všechny tři strany trojúhelníku mají stejný počet jednotek, nazývá se rovnostranným. Jiný název je správný. Obvod pravidelného trojúhelníku se zjistí pomocí vzorce: P = a + a + a = 3 · a. Úkol: Máme rovnostranný trojúhelníkový pozemek. Jedna strana je 6 metrů. Najděte délku plotu, která může tuto oblast uzavřít. Řešení: Pokud je strana tohoto polygonu a = 6m, pak je délka plotu P = 3,6 = 18 (m). Odpověď: P = 18 m.
Trojúhelník, který má úhel 90 °
To se nazývá obdélník. Přítomnost pravého úhlu umožňuje nalézt neznámé strany pomocí definice trigonometrických funkcí a Pythagorovy věty. Nejdelší strana se nazývá hypotenuse a označuje c. Existují dvě další strany, a a b. Podle věty nesoucí název Pythagoras máme c 2 = a 2 + b 2 . Nohy jsou a = √ (c 2 - b 2 ) a b = √ (c 2 - a 2 ). Pokud známe délku dvou nohou a a b, vypočítáme hypotenzu. Pak najdeme součet stran postavy a přidáme tyto hodnoty. Quest: Cateta pravý trojúhelník mají délku 8,3 centimetrů a 6,2 centimetrů. Obvod trojúhelníku je třeba vypočítat. Řešíme: Znamenáme, že nohy a = 8,3 cm, b = 6,2 cm. Podle Pythagorovy věty je hypotenze c = √ (8,3 2 + 6,2 2 ) = √ (68,89 + 38,44) = √107 , 33 = 10,4 (cm). P = 24,9 (cm). Nebo P = 8,3 + 6,2 + √ (8,3 2 + 6,2 2 ) = 24,9 (cm). Odpověď: P = 24,9 cm. Hodnoty kořenů byly odečteny do desáté. Pokud známe hodnoty hypotenze a nohy, potom hodnota P se získá výpočtem P = √ (c 2 - b 2 ) + b + c. Úloha 2: Kousek pozemku, který leží proti úhlu 90 stupňů, 12 km, jeden z nohou je 8 km. Kolik času můžete projít po celé ploše, pokud se pohybujete rychlostí 4 km / h? Řešení: Pokud je největší segment 12 km, menší než b = 8 km, potom bude délka celé cesty P = 8 + 12 + √ (12 2 - 8 2 ) = 20 + √80 = 20 + 8.9 = km). Najdeme čas vydělením cesty rychlostí. 28,9: 4 = 7,225 (h). Odpověď: můžete se dostat za 7,3 hodiny čtvercové kořeny a odpovídáme na desetinu. Najdete součet stran pravoúhlého trojúhelníku, pokud je daná jedna ze stran a hodnota jednoho z ostrých rohů. Pokud známe délku nohy b a hodnotu protilehlého úhlu β, najdeme neznámou stranu a = b / tg β. Najděte hypotenzu c = a: sinα. Obvod takového čísla je zjištěn přidáním získaných hodnot. P = a + a / sinα + a / tg α nebo P = a (1 / sin α + 1 + 1 / tg α). Úloha: V pravoúhlém Δ АВС s pravým úhlem C jsou nohy slunce dlouhé 10 ma úhel A je 29 stupňů. Je třeba najít součet stran Δ АВС. Řešení: Znamenáme známou nohu BC = a = 10 m, úhel ležící naproti tomu, ∟А = α = 30 °, pak noha AC = b = 10: 0.58 = 17.2 (m) 10: 0,5 = 20 (m). P = 10 + 17,2 ± 20 = 47,2 (m). Nebo P = 10 · (1 + 1,72 + 2) = 47,2 m. Máme: P = 47,2 m. Hodnotu trigonometrických funkcí vezmeme s přesností na jednu stovinu, délka stran a obvod jsou zaokrouhleny na desátou. S hodnotou nohy α a sousedícího úhlu β zjistíme, co je druhá noha rovna: b = tmavá β. Hypotenuse v tomto případě bude rovná noze dělené kosinem úhlu β. Obvod je známý vzorcem P = a + a tg β + a: cos β = (tg β + 1 + 1: cos β) · a. Úkol: Noha trojúhelníku s úhlem 90 stupňů 18 cm, sousední úhel je 40 stupňů. Najít P. Řešení: Označujeme známou nohu BC = 18 cm, ∟β = 40 °. Pak neznámá noha AC = b = 18 · 0,83 = 14,9 (cm), hypotenuse AB = c = 18: 0,77 = 23,4 (cm). Součet stran postavy se rovná P = 56,3 (cm). Nebo P = (1 + 1,3 + 0,83) * 18 = 56,3 cm Odpověď: P = 56,3 cm Pokud je známa délka hypotenze c a jakýkoli úhel α, nohy budou rovny výsledku hypotenze pro první - na sine a druhý - na kosinus tohoto úhlu. Obvod tohoto obrázku je P = (sin α + 1 + cos α) * c. Úloha: hypotenze pravého trojúhelníku AB = 9,1 centimetrů a úhel 50 stupňů. Najděte součet stran tohoto obrázku. Řešení: Uveďme hypotenzu: AB = c = 9,1 cm, ∟A = α = 50 °, pak jedna z nohou BC má délku a = 9,1 · 0,77 = 7 (cm), ACH = b = 9 , 1, 0,64 = 5,8 (cm). Takže obvod tohoto polygonu je P = 9,1 + 7 + 5,8 = 21,9 (cm). Nebo P = 9,1 (1 + 0,77 + 0,64) = 21,9 (cm). Odpověď: P = 21,9 centimetrů.
Volitelný trojúhelník, jehož jedna strana je neznámá
Pokud máme hodnoty dvou stran a a c a úhel mezi těmito stranami je γ, najdeme třetí větu cosines: b 2 = σ 2 + a 2 - 2 ασ cos β, kde β je úhel mezi stranami aa c. Pak najdeme obvod. Úloha: Δ АВС má segment AB s délkou 15 dm, segment AU, jehož délka je 30,5 dm. Úhel mezi těmito stranami je 35 stupňů. Vypočítejte součet stran Δ ABC. Řešení: Cosinova věta vypočítá délku třetí strany. BC 2 = 30,5 2 + 15 2 - 2 · 30,5 · 15 · 0,82 = 930,25 + 225 - 750,3 = 404,95. BC = 20,1 cm P = 30,5 + 15 + 20,1 = 65,6 (dm) Máme: P = 65,6 dm.
Součet stran libovolného trojúhelníku, jehož délky obou stran nejsou známy
Když známe délku pouze jednoho segmentu a hodnotu dvou úhlů, zjistíme délku dvou neznámých stran pomocí sinetické věty: "v trojúhelníku jsou strany vždy úměrné sinusovým hodnotám opačných rohů". Kde b = (a * sin sin) / sin a. Podobně, c = (sin sin): sin a. Obvod v tomto případě bude P = a + (a sin β) / sin a + (sin sin γ) / sin a. Úkol: Máme Δ ABC. V něm je délka strany BC 8,5 mm, hodnota úhlu C je 47 ° a úhel B je 35 °. Najděte součet stran tohoto obrázku. Řešení: Označte délky stran BC = a = 8,5 mm, AC = b, AB = c, ∟ A = α = 47 °, ∟B = β = 35 °, 35 °) = 180 ° - 82 ° = 98 °. Z vztahů odvozených od sinové věty nalezneme nohy AC = b = (8,5 · 0,57): 0,73 = 6,7 (mm), AB = c = (7,99): 0,73 = 9,5 (mm). Proto součet stran tohoto polygonu je P = 8,5 mm + 5,5 mm + 9,5 mm = 23,5 mm. Odpověď: P = 23,5 mm. V případě, že existuje pouze délka jednoho segmentu a hodnoty dvou sousedních úhlů, nejprve vypočítáme úhel opačný k známé straně. Všechny rohy tohoto čísla mají celkem 180 stupňů. Proto ∟A = 180 ° - (∟B + ∟C). Dále nalezneme neznámé segmenty pomocí sinusové věty. Úkol: Máme Δ ABC. Má segment BC rovný 10 cm. Úhel B je 48 stupňů, úhel C je 56 stupňů. Najděte součet účastníků D abc. Řešení: Nejprve najděte hodnotu úhlu A proti straně BC. ∟A = 180 ° - (48 ° + 56 °) = 76 °. Nyní s sinusovou větu vypočítáme délku strany AC = 10 · 0,74: 0,97 = 7,6 (cm). AB = BC * sin C / sin A = 8,6. Obvod trojúhelníku je P = 10 + 8,6 + 7,6 = 26,2 (cm). Výsledek: P = 26,2 cm.
Výpočet obvodu trojúhelníku pomocí poloměru kružnice, která je v něm zapsána
Někdy nejsou známy žádné podmínky tohoto problému. Ale je zde hodnota prostor trojúhelníku a poloměr kruhu, který je v něm zapsán. Tyto hodnoty jsou příbuzné: S = r p. Pokud známe hodnotu oblasti trojúhelníku, rádius r, můžeme najít poloměr p. Najít p = S: r. Úloha: Plocha je 24 m 2 , poloměr r je 3 m. Najděte počet stromů, které by měly být vysazeny rovnoměrně podél čáry přiléhající této části, pokud je vzdálenost mezi dvěma přilehlými dvěma metry. Řešení: Součet stran tohoto obrázku je následující: P = 2 · 24: 3 = 16 (m). Pak rozdělte dva. 16: 2 = 8. Celkem: 8 stromů.
Součet stran trojúhelníku v kartézských souřadnicích
Vrcholy Δ АВС mají souřadnice: A (x 1 ; y 1 ), B (x 2 ; y 2 ), C (x 3 ; y 3 ). Najít čtverce každé strany AB 2 = (x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2 ) 2 ; BC 2 = (x 2 - x 3 ) 2 + (y 2 - y 3 ) 2 ; AC 2 = (x 1 - x 3 ) 2 + (y 1 - y 3 ) 2 . Chcete-li najít obvod, stačí přidat všechny segmenty. Úloha: souřadnice vrcholu Δ ABC: B (3; 0); A (1; -3); C (2; 5). Najděte součet stran tohoto obrázku. Řešení: uvedeme hodnoty odpovídajících souřadnic do vzorce obvodu, dostaneme P = √ (4 + 9) + √ (1 + 25) + √ (1 + 64) = √13 + √26 + √65 = 3.6 + 5.1 + 8,0 = 16,6. Máme: P = 16,6. Není-li obrázek v rovině, ale ve vesmíru, pak každý z vrcholů má tři souřadnice. Proto bude součet stran mít ještě jeden termín.
Vektorová metoda
Je-li tvar daný souřadnicemi vrcholů, obvod lze vypočítat pomocí vektorové metody. Vektor je segment se směrem. Jeho modul (délka) je označen symbolem |||. Vzdálenost mezi body je délka odpovídajícího vektoru nebo modulu vektoru. Zvažte trojúhelník ležící v letadle. Pokud mají vrcholy souřadnice A (x 1 ; y 1 ), M (x 2 ; y 2 ), T (x 3 ; y 3 ), potom délka každé strany je shodná s následujícími vzorci: AM = √ (x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2 ) 2 ), | MT | = √ ((x 2 - x 3 ) 2 + (y 2 - y 3 ) 2 ) 1 - 3 ) 2 ). Obvod trojúhelníku se získá přidáním délky vektorů. Podobně najděte součet stran trojúhelníku v prostoru.