Jak najít druhou odmocninu? Vlastnosti, příklady extrakce kořenů

25. 3. 2019

Matematika vznikla tehdy, když si člověk uvědomil sebe sama a začal se stát se autonomní jednotkou světa. Touha měřit, porovnávat, počítat to, co vás obklopuje - to bylo základem jedné ze základních věd naší doby. Nejprve to byly části elementární matematiky, které nám umožnily spojit čísla s jejich fyzickými projevy, později závěry byly prezentovány pouze teoreticky (na základě jejich abstraktnosti), no, po nějaké době, jak jeden vědec uvedl, "matematika dosáhla stropu složitosti, když zmizela všechna čísla. " Pojem "druhá odmocnina" se objevil v době, kdy ji bylo možné snadno podpořit empirickými daty, které překračují rovinu výpočtu.

Jak to všechno začalo

První zmínka o kořenech, která je v současné době označována jako √, byla zaznamenána ve spisech babylonských matematiků, kteří iniciovali moderní aritmetiku. Samozřejmě vypadali trochu jako současná podoba - vědci těch let nejprve používali objemné tablety. Ale ve druhém tisíciletí př.nl. e. odvodili přibližný výpočetní vzorec, který ukázal, jak extrahovat druhou odmocninu. Níže uvedená fotka ukazuje kámen, na kterém babylonští vědci vyřezali proces √2, a ukázalo se, že je tak pravda, že rozpor v odpovědi byl nalezen pouze na desátém desetinném místě. druhá odmocnina

Kromě toho byl použit kořen, pokud bylo nutné najít stranu trojúhelníku za předpokladu, že jsou známy další dva. No, při rozhodování čtvercových rovnic Od těžby kořene nemůže nikam jít.

Spolu s Babylonskými dělami byl předmět článku také studován v čínské práci "Matematika v devíti knihách" a starověcí Řekové dospěli k závěru, že žádné číslo, ze kterého žádný kořen není extrahován bez zbytku, dává iracionální výsledek.

Původ tohoto termínu je spojen s arabským vyjádřením čísla: starověcí učenci věřili, že náměstí libovolného čísla roste z kořene jako rostlina. V latině toto slovo zní jako radix (můžete vysledovat vzorek - vše, co má kořenový význam, je souhlásk, ať už je to ředkvička nebo radikulitida).

Vedoucí pracovníci nové generace tuto myšlenku získali a označili ji za Rx. Například ve století XV, aby bylo naznačeno, že druhá odmocnina je extrahována z libovolného čísla a, napsali R 2 a. Známá "klíšťata" se objevila až v 17. století díky René Descartesové.

Naše dny

Z hlediska matematiky je druhou odmocninou y takové číslo z, jehož čtverec se rovná y. Jinými slovy, z 2 = y odpovídá √y = z. Tato definice je však relevantní pouze pro aritmetický kořen, jelikož znamená ne zápornou hodnotu výrazu. Jinými slovy, √y = z, kde z je větší nebo rovno 0. druhá odmocnina

Obecně platí, co definuje algebraický kořen, hodnota výrazu může být pozitivní i negativní. Proto vzhledem k tomu, že z 2 = y a (-z) 2 = y, máme: √y = ± z nebo √y = | z.

Vzhledem k tomu, že láska k matematice s rozvojem vědy se pouze zvýšila, existují různé projevy lásky k ní, které nejsou vyjádřeny v suchém výpočtu. Například na stejném místě s takovými zábavnými jevy, jako je den Pi, jsou také oslavovány svátky druhé odmocniny. Označují se devětkrát za sto let a jsou určeny podle následujícího principu: čísla, která označují den a měsíc v řádku, musí být odmocnina roku. Takže příště budeme muset oslavit tento svátek 4. dubna 2016.

Vlastnosti druhé odmocniny v poli R

  1. Druhá odmocnina produktu se rovná součinu čtvercových kořenů za předpokladu, že radikální výrazy jsou větší nebo rovno 0.
  2. Když stavíme druhou odmocninu, postačí k tomu, aby se k této síle objevil radikální výraz za předpokladu, že je větší než nula.
  3. Druhá odmocnina zlomku se rovná kořenu čitateli děleném kořenem jmenovatele za předpokladu, že druhá odmocnina čitatele je větší nebo rovna 0 a druhá odmocnina jmenovatele je přísně větší než 0.
  4. Radikální výraz, jestliže je větší než nula, může být rozdělen na několik částí, z nichž je naopak povoleno extrahovat kořen. Například: √75 = √25 * 3 = 5√3.
  5. Pod znamením kořene můžete zadat libovolné číslo a zároveň jej zvednout na čtverec. Například: 5√8 = √25 * √8 = √200. strana náměstí

Prakticky všechny matematické výrazy mají pod nimi geometrický základ, tento osud a √y, který je definován jako strana čtverce s oblastí y, neunikl.

Jak najít kořen čísla?

Existuje několik algoritmů pro výpočet. Nejjednodušší, ale poněkud těžkopádný je obvyklý aritmetický výpočet, který se skládá z následujících:

1) z počtu, jehož root potřebujeme, jsou odečteny lichá čísla - dokud je výstupní zůstatek nižší než odpočitatelná, nebo dokonce nulová. Počet pohybů a nakonec bude požadované číslo. Například výpočet odmocniny 25:

25-1 = 24

24-3 = 21

21-5 = 17

17-7 = 10

10-9 = 1

Další liché číslo je 11, zbytek je následující: 1 <11. Počet pohybů je 5, takže kořen 25 je 5. Všechno se zdá snadné a jednoduché, ale představte si, co musíte vypočítat z roku 18769? výpočet odmocniny Pro takové případy se v řadě Taylor rozkládá:

√ (1 + y) = Σ ((1) n (2n)! / (1-2n) (n!) 2 (4n)

+ ∞ a | y | ≤1.

Grafické znázornění funkce z = √y

Zvažte elementární funkci z = √y na poli reálných čísel R, kde y je větší nebo rovno nule. Její plán je následující: výpočet odmocniny

Křivka roste od počátku a nutně překročí bod (1; 1).

Vlastnosti funkce z = √y na poli reálných čísel R

1. Doménou zvažované funkce je interval od nuly po plus nekonečno (nula je zahrnuta).

2. Rozsah hodnot dotyčné funkce je interval od nula po plus nekonečno (nula je opět zahrnuta).

3. Minimální hodnota (0) funkce trvá pouze v bodě (0, 0). Maximální hodnota chybí.

4. Funkce z = √y není ani sudá ani lichá.

5. Funkce z = √y není periodická.

6. Průsečík grafu funkce z = √y s osami souřadnic je pouze jeden: (0; 0).

7. Průsečík grafu funkce z = √y je také nula této funkce.

8. Funkce z = √y neustále roste.

9. Funkce z = √y má pouze pozitivní hodnoty, proto její graf zaujímá první úhel souřadnic.

Varianty funkce obrazu z = √y

V matematice, abychom usnadnili výpočet složitých výrazů, se někdy používá mocná forma pro zápis odmocniny: √y = y 1/2 . Taková volba je vhodná například při zvýšení funkce na výkon: (√y) 4 = (y 1/2 ) 4 = y 2 . Tato metoda je také dobrým nápadem pro diferenciaci s integrací, protože kvůli tomu je druhá odmocnina reprezentována běžnou mocninnou funkcí.

A při programování nahrazuje znak √ kombinací písmen sqrt. výpočet odmocniny Je třeba poznamenat, že v této oblasti je druhá odmocnina velmi žádaná, protože je součástí většiny geometrických vzorců potřebných pro výpočty. Numerický algoritmus je poměrně složitý a je založen na rekurzi (funkce, která se nazývá sama).

Druhá odmocnina v komplexním poli C

Celkově bylo předmětem tohoto článku stimulováno otevření pole. komplexních čísel C, jelikož matematici nebyli spokojeni s otázkou získání kořenu rovnoměrného stupně od negativního čísla. Objevila se tedy imaginární jednotka, která se vyznačuje velmi zajímavou vlastností: její čtverec je -1. Díky tomu získaly řešení kvadratické rovnice a s negativním rozdílem. V C, pro druhou odmocninu, jsou stejné vlastnosti jako v R jsou relevantní, jediné je, že omezení na radicand jsou odstraněny.