Komplexní čísla a akce na nich

Komplexní čísla , v tradičním slova smyslu, nejsou čísla používaná při počítání a měření, ale jsou to matematické objekty, které jsou definovány níže uvedenými vlastnostmi.

Použijte 3 formy složitého čísla: algebraické, exponenciální, trigonometrické.

Algebraická forma

Komplexní čísla jsou označena výrazem ω + νi, kde ω a ν jsou reálné a symbol i je určen podmínkou i ² - 1 - jednotka je imaginární.

Komplexní číslo ω + νi je tedy rozděleno do reálných a imaginárních částí. Pro pohodlí je zobrazen jedním písmem (například η ): η = ω + νi .

Části složitého čísla η = ω + νi , reálné a imaginární, jsou označeny ω = Reη, ν = Itη, resp.

Komplexní čísla se považují za rovnocenná, pokud jsou jejich skutečné a imaginární části ekvivalentní. Složité číslo se považuje za rovno nule, pokud jeho části, skutečné a imaginární, jsou rovny nule.

Aritmetické operace

Přidání

Součet komplexních čísel je složité číslo, jehož skutečná část je ekvivalentní součtu skutečných částí a imaginární část je ekvivalentní součtu imaginárních částí:

n = (ω ₁ + ω ₂ ) + (ν ₁ + ν ₂ ) i.

Říká se, že mezi komplexem η jsme získali v důsledku přidání čísel komplexu :

η = η ₁ + η _2.

Komplex η ₁ a η _{2 jsou} označovány jako termíny.

Zákony o přidávání:

1) zákon asociativity;

2) zákon o komutativitě .

Komplexní -ω-bi číslo se nazývá opačné číslo ω + νi . Součet protikladných čísel komplexu je nulový.

Rozdíl

Rozdíl mezi složitými čísly se nazývá složité číslo η, které se rovná součtu čísla η ₁ a čísla oproti η ₂ :

n = η ₁ + (- η ₂ ) = (ω ₁ -ω ₂ ) + (ν ₁ -ν ₂ ) i.

Zdá se, že počet komplexu η byl získán odečtením počtu ₂ a η ₁ (komplexní čísla) a je napsáno:

η = η ₂ -η ₁ .

Práce

Produkt komplexních čísel je složité číslo:

n (ω ₁ ω ₂ -ν ₁ ν ₂ ) + (ω ₁ ν ₁ + ω ₂ ν ₁ ) i.

Zdá se, že počet komplexu η byl získán vynásobením η1 nebo η2 (čísla η ₁ a η ₂ jsou složitá) a píší:

η = η ₁ η ₂ .

Komplex η ₁ a η _{2 se} nazývají multiplikátory.

Zákony násobení složitých čísel:

1) zákon asociativity ;

2) zákon o komutativitě .

Divize

Konkrétní komplexní čísla se nazývají komplex η taková, že η ₁ = η _1: η ₂ ( η2 0 ) . Soukromá komplexní čísla jsou vypočteny podle vzorce:

n (ω ₁ ω ₂ -ν ₁ ν ₂ ) / (ω ² + ν ² ) + (ω ₁ ν ₁ + ω ₂ ν ₁ ) i / (ω ² + ν ² ).

Číslo η se říká, že bylo dosaženo dělením η ₁ na η ₂ a je napsáno:

η = η ₁ / η _{2 .}

Přidání a násobení složitých čísel je spojeno pravidlem nazývaným distribuční zákon o násobení .

Čísla trigonometrických komplexů

Používejte také jinou formu záznamu komplexních čísel, která se nazývá trigonometrie.

Komplexní číslo ω + νi lze psát jako:

n = k (cosβ + isinβ), kde k ² = ω ² + ν ² .

Tento výraz je formou záznamu komplexních čísel, která se nazývá trigonometrie. Modul komplexního čísla je skutečný počet k , a jeho argument je úhel β , měřený v radiánech.

Pokud není složité číslo nulové, je jeho kladný modul; pokud η = 0 , jinými slovy ω = ν = 0 , pak je jeho modul rovný nule. Modul je definován jednoznačně.

Produkt čísel trigonometrických komplexů je modul komplexního čísla, který je ekvivalentní faktoru, nebo spíše jeho modulům a argument je ekvivalentní součtu argumentů faktorů:

η ₁ η ₂ = k ₁ k ₂ [cos (β ₁ + β ₂ ) + isin (β ₁ + β ₂ )].

Soukromá čísla trigonometrických komplexů, která nejsou nulová, je složité číslo, jehož modul je ekvivalentní částečné dividendě a děliči (jejich modulů) a argument je ekvivalentní rozdílu argumentů dividendy a dělitelů:

η ₁ / η ₂ = k ₁ / k ₂ [cos (β ₁ -β ₂ ) + isin (β ₁ -β ₂ )].

Přirozený stupeň počtu složitých

V matematice je n-tou mocí komplexu η komplexní w nalezená jako výsledek množení komplexu n krát sama o sobě: w = ηη ... η .

Obvykle použijte kratší položku:

w = η ⁿ ,

kde n je základem stupně a n (přirozené číslo) je exponent.

Ntová síla η (komplexní číslo), která je dána v trigonometrické formě, je vypočtena podle vzorce:

ⁿ = k ⁿ (cosnβ + isinnβ).

Tento vzorec se nazývá vzorec Moivre.