Metoda konečných prvků a jejich aplikace

Metoda konečných prvků se ukázala jako jedna z metod pro studium různých konstrukcí. V současné době je všeobecně uznáván jako běžný způsob, jak vyřešit širokou škálu úkolů v různých oblastech technologie.

Definice

Inženýrská analýza metodou konečných prvků spočívá v sbližování kontinuálního média s nekonečně velkým počtem stupňů volnosti sadou prvků (subdomén) s konečným počtem stupňů volnosti. Vztah mezi těmito prvky je stanoven. Rozpoznání metody je vysvětleno jednoduchostí její matematické formy a fyzikální interpretace.

Použití v mechanice

Metoda konečných prvků v mechanice lomů a v problematice konstrukční mechaniky je vyjádřena jako poměr FEM ve formě posunutí. Nejprve jsou v každém prvku nastaveny tzv. Funkce formuláře. Definují pohyb ve vnitřní oblasti prvku pohybem v uzlech. Ty jsou body, kde jsou spojeny konečné prvky.

Neznámé FEM jsou možné a nezávislé pohyby uzlů modelu konečných prvků (CEM). Tak, KEM design je systém pevných uzlů. Další vazby korelují se směrem možných pohybů uzlů.

Podstata metody

V jeho jádru je elementární model návrhu podobný základnímu systému klasické metody posunů, který se používá při výpočtu tyčových systémů. Pro dosažení citlivé přesnosti výsledků výpočtů metodou konečných prvků je nezbytné snížit velikost prvků, čímž se zvýší přesnost aproximace geometrických charakteristik a funkcí posunutí v konečném prvku.

Komplexní struktury CEM dosahují stovek nebo dokonce milionů stupňů volnosti, a proto je metoda konečných prvků ve strojírenství strojově orientovaná, jejíž realizace je možná pouze pomocí počítačů.

Praktická implementace

Pro uplatnění FEM v praxi je nutné pochopit nejen teorii mechaniky, ale také znalost programování. Aplikace metody konečných prvků je často založena na variačních principech mechaniky, které jsou založeny na dvou základních scalarech: potenciál a kinetické energie elastická konstrukce. Definice těchto skalárů, nezávisle na zvoleném souřadném systému, umožňuje zapsat FEM vztah v invariantní podobě.

Pro snadné programování jsou poměry FEM zaznamenány ve formě kompaktní matice nebo tenzoru. V současné době je simulace metodou konečných prvků plně matematicky odůvodněna, jsou vytvářeny vysoce výkonné softwarové produkty, které se neustále vylepšují společně s programovacími nástroji.

Vzdělávací programy

Technický pokrok, zejména v oblasti počítačů, výrazně změnil názor na formulaci a řešení inženýrských problémů. Výstavba výpočetního modelu úzce souvisí s výpočetním procesem a je téměř nemožné oddělit tyto dvě etapy na cestě k získání praktických výsledků.

Metoda konečných prvků je široce používána v inženýrské praxi, která také přispěla k jejímu začlenění do učebních osnov univerzit. FEM poskytuje způsoby budování matematického modelu zvažovaného jevu na základě jeho fyzické podstaty.

První učebnice FEM byly napsány v složitém jazyce, brzy však byly vyučovací metody zjednodušeny díky zavedení specializovaných programů. Například softwarový balík Assistant se osvědčil dobře. Umožňuje testovat znalosti studentů online a přispívá k rozvoji dovedností pracujících se softwarovými produkty při řešení praktických problémů.

Výpočet lineárních deformací

Dnes jsou základy metody konečných prvků založeny na skutečnosti, že hodnoty a pojmy, které jsou v ní obsaženy, nejsou zavedeny předem, ale vyplývají z podstaty problému strukturální mechaniky. Rozsah problémů, které lze řešit pomocí FEM, je téměř neomezený. Zvažte například problém výpočtu lineární deformace pružných struktur z působení statických zátěží.

Anglický fyzik R. Hooke provedl výzkum deformací centrálně zatěžovaných prutů z různých elastických materiálů působením statické síly: Δ = Pl / EA.

Rovněž stanovil vztah mezi veličinami určujícími tento proces: σ = Eε, kde deformace je vyjádřena vztahem ε = Δ / l, napětí je označeno jako σ = P / A (zde A je průřezová plocha tyče).

Koeficient proporcionality E určuje elastické vlastnosti materiálu a má fyzickou podstatu - napětí odpovídající jednotkovému namáhání.

Vliv statické síly

Staticky působící síla postupně roste s časem (G≥P≥0). Pohyby, které generuje, také rostou postupně, bez akcelerace.

Analýza metodou konečných prvků nám umožňuje určit účinek statické síly na posun, jelikož se tyto ukazatele liší. Zvýšení (zvýšení) na nekonečně malou hodnotu dP odpovídá zvýšení (zvýšení) posunutí dΔ. Pracovní síla (P + ΔP) na posunutí dΔ je dA = (P + ΔP) × dΔ.

Konečná hodnota pracovní síly je určena vzorem A = PdΔ.

Uveďme vztah mezi dimenzionálními proměnnými pod znaménkem integrálního Δ = Pα, kde α je koeficient shody, který vyjadřuje fyzickou podstatu pohybu bodu, ke kterému se přidává jednotková síla, ve směru této síly. Poměr Δ = Pα nastavuje měrnou jednotku α (m / N). Z toho vyplývá, že dΔ = dPα.

Koeficient shody odpovídá jiné důležité vlastnosti konstrukce - koeficient tuhosti k = l / α (n / m), který určuje sílu způsobující jediný pohyb konstrukce ve směru této síly.

Vezmeme-li v úvahu všechny charakteristiky a koeficienty, výsledná rovnice má tvar: A = PdPα = α × (P 2/2) = (GΔ) / 2.

Získá se Clapeyronův vzorec, který určuje skutečnou práci staticky působící síly na posunutí, kterou sama vytváří v elastickém těle. Jiné numerické metody se vypočítají pomocí této techniky.

Metoda konečných prvků pro tyčové systémy

Tyč je prostorové tělo, jehož dvě velikosti, šířka a výška jsou mnohem menší než délka. To umožňuje zvážit jeho fyzický model ve formě linky, která prochází středy úseků. Pokud jsou vnější síly působící na tyč umístěny ve stejné rovině jako model, pak můžeme předpokládat, že její deformace se vyskytují ve stejné rovině.

Z matematického hlediska jsou geometrické charakteristiky posunutí a napětí uvnitř tyče funkcemi stejného argumentu. Vztahy teorie elasticity vycházejí z hypotézy plochých úseků tyče. Vztah mezi deformacemi a namáháním odpovídá lineárnímu Hookemu zákonu. V každé části tyče se objeví tři roviny pohybu:

• souřadnicou u je podélná síla;
• koordinovat w - průhyb;
• souřadnice φ - úhel natočení.

V tomto případě jsou podélné úhly a vychýlení w nezávislé a úhel natočení je vyjádřen vztahem φ = dw / dx, kde dw je odchylka po působení vnější síly na tyč, dx je průhybový segment (určený hodnotou w + dw).

Pro nekonečně malou tyč dx platí vztah dx = dφ × P.

Potenciální energie Deformace tyčí se přirozeně vypočítají v lokálním souřadném systému, jehož osa x se shoduje s osou tyče a osa y je kolmá na osu tyče: U = ½∫N × du + ½∫M × dφ = ½∫N × (du / dx) dx + ½ ∫M × (d²w / dx²) dx.

Isoparametrický přístup ve FEM

Zvažte aplikaci metody konečných prvků v isoparametrickém systému konečných prvků rovinně stojící struktury. Proces vytváření modelu konstrukcí s konečnými prvky se skládá z několika etap, z nichž první je konstrukce konečných prvků (FE), volba globálního souřadného systému s ohledem na celou strukturu a lokální systém spojený s konečným prvkem.

Klíčovým krokem je definovat funkce formy, které poskytují definici posunutí uvnitř konečného prvku v důsledku pohybu jeho uzlů. Existují různé způsoby vytváření funkcí formy, ale musí zajistit splnění několika podmínek pro aproximaci funkcí posunutí.

• Plnění kontinuity posunů nejen na uzlech konečných prvků, ale také na jejich hranicích.
• Zajištění zachování derivátů funkcí posunutí, které souvisejí s pružným potenciálem.
• Pohyb konečného prvku jako rigidního čísla. To znamená, že když je prvek přemístěn jako pevná látka, složky deformačního vektoru jsou nulové.

Problémy a řešení

Teorie metod konečných prvků uvádí, že vztahy FEM se vytvářejí v lokálním souřadném systému. Proto jsou uvedené požadavky na funkce formuláře prováděny automaticky, pokud jsou osy lokálního systému orientovány po stranách konečného prvku. Takové případy se dějí u konečných prvků jádrových konstrukcí, obdélníkových stěnových panelů a obdélníkových desek.

Ale v praxi existují konstrukce s kontury libovolné definice. V tomto případě je nutné provést transformaci na přibližné posunutí v globálním souřadném systému, což vede k nespojitostem posunutí na hranicích konečných prvků a v důsledku toho ke ztrátě přesnosti přibližných výpočtů.

Představa vznikla zobrazením plochého, čtverhranného konečného prvku obecné podoby na čtverci s lokálním souřadnicovým systémem, jehož počátek je v centru tohoto obrázku a osy orientované na jeho stranách. Pro další použití konečných prvků ve tvaru čtverce je nutné vytvořit jednorázové spojení mezi lokálními souřadnicemi libovolného čtverhranného FE a lokálním souřadnicovým systémem FE ve tvaru čtverce. Ve skutečnosti pro čtvercový konečný prvek jsou funkce formuláře spíše jednoduché.

Metoda konečných prvků pro výpočty desek

Deska je vložka nebo válcové těleso, jehož výška je mnohem menší než velikost v plánu. Výška rozměru se nazývá tloušťka desky. Rovina, která dělí výšku desky na polovinu, se nazývá střední nebo referenční rovina. Průsečík bočního povrchu se střední rovinou se nazývá obrys desky.

Tenká deska se považuje za ten, u kterého je poměr tloušťky k menší velikosti v plánu v h≤L / 5, kde h je tloušťka desky, L je její šířka.

Deska se považuje za tuhou, jestliže při působení příčného zatížení její největší odchylka během deformace nepřesahuje 1/5 její tloušťky.

Při výpočtu metodou FE je nejprve zadán souřadný systém: X ₁ , X ₂ a X ₃ . Začátek os X ₁ a X ₂ se nachází ve střední rovině. Osa X _{3 je} orientována podél normálu k střední rovině.

Výpočty se obvykle snižují na výpočet posunutí desky v určitém bodě pod vlivem zatížení (síly). Na libovolném místě desky, která je považována za trojrozměrné tělo, se objevují tři směry pohybu: U ₁ , U ₂ , U ₃ . Definice je pohyb po normální a střední rovině, která se nazývá deformace a je označena písmenem W.

Výpočty se považují za provedené, jestliže z daného zatížení (a to je obvykle rovnoměrně rozloženo, směřující k povrchu), je stanoven způsob výpočtu posunutí U a posunutí W v libovolném bodě desky. Vztahy FEM vycházejí z ustanovení technické teorie pružnosti navrženého fyzikem Kirchhoffem.

Kirchhoffovy hypotézy

Metoda konečných prvků je z velké části založena na hypotézách formulovaných v roce 1845 německým fyzikem G. Kirghoff. Přímá normální hypotéza uvádí, že jakákoliv přímka normální k střední čáře nedeformované desky zůstává přímá a normální vůči střednímu povrchu deformované desky a délka přímky se nemění. Jeho podstatou spočívá v nepřítomnosti posunu mezi vrstvami desky v tloušťce.

Pokud jsou osy karteziánských souřadnic umístěny tak, že roviny X ₁ , X _{2 se} shodují se střední rovinou, pak následují následující rovnice z první části hypotézy: y ₁₃ = 0, y ₂₃ = 0. Hypotéza o neměnnosti délky přímky předpokládá, že lineární deformace ve směru osy X ₃ je nula: ε ₃₃ = 0.

Hypotéza o nepřítomnosti tlaku mezi vrstvami desky rovnoběžná se středním povrchem naznačuje, že napětí _{33 v} porovnání s namáháním σ ₁₁ a σ ₂₂ může být zanedbáváno, to znamená σ ₃₃ = 0.

Hypotéza nedeformovatelnosti střední roviny naznačuje, že v střední rovině desky nedochází k deformacím napětí, stlačení a smyku. To znamená, že střední rovina je neutrální. Takže v něm je posunutí U ₁ = U ₂ = 0.

Závěr

Metoda konečných prvků, která je široce používána ve stavebnictví a mechaniky, umožňuje vypočítat posuny různých prvků vystavených určitým zatížením. Systém, který v roce 1936 vytvořili sovětští vědci, začal být široce používán až o desetiletí později, protože vyžadoval velké množství výpočtů. Se zavedením počítačů je tento úkol zjednodušen.