Jak najít oblast rovnostranného trojúhelníku: základní vzorce

Oblast rovnostranného trojúhelníku můžete najít pomocí libovolného vzorce pro libovolnou postavu tohoto typu nebo použít ty, které již zohledňují zvláštnost tohoto konkrétního obrázku a matematické výrazy byly významně zjednodušeny.

První případ vyžaduje pouze nahrazení všech stran za stejnou hodnotu a s přihlédnutím k tomu, že všechny úhly trojúhelníku jsou 60 °. Poté bude nutné provést jednoduché transformace, které povedou k tomu, že vzorky v hotové podobě budou o něco nižší.

Formula 1: známá strana

V této a následných vzorcích byla použita standardní notace pro hodnoty trojúhelníku. Více podrobností naleznete v navrhované tabulce.

Výpočet plochy trojúhelníku se v tomto případě provede podle vzorce:

S = √3 / 4 * a ² .

Je snadno získán z toho, co je známo pro libovolnou postavu se třemi stranami. Jen ve vzorci je třeba vzít v úvahu skutečnost, že všechny strany trojúhelníku jsou stejné.

Přesněji je požadována rovnice Gerona: S = √ (p (pa) (pb) (ks)). Hodnota poloměru pro rovnostranný trojúhelník bude 3a / 2. Výraz ((3a / 2) - a) se tedy získá v každé skupině pod kořenem. Dává to po konverzi a / 2.

Jelikož existují tři závorky, bude mít tento výraz třetí stupeň. Takže to bude přeměněno na 3/8.

Je třeba je vynásobit poloprůchodem, který je definován jako součet stran vydělených 2. Výraz: 3a 4/16 je získán. Po extrakci druhá odmocnina pouze výraz, který je uveden v prvním vzorci pro oblast rovnostranného trojúhelníku, zůstane.

Proto není zapotřebí zapamatovat si mnoho vzorců. Můžete si jednoduše vzpomenout na jednu - Geroně. Z toho, jednoduchými matematickými transformacemi, jsou všechny ostatní získány například pro rovnostranný trojúhelník.

Formula 2: poloměr zapsaného kruhu

Tento výraz je velmi podobný předchozímu záznamu. Ale existují stále významné rozdíly: používá se jiný dopis, iracionalita se dostala k jmenovateli, objevil se faktor 3 a zmizel číslo 4. Obecně je snadné si vzpomenout.

S = 3√3 * r2.

Tento vzorec je také snadné získat od toho, který je dán pro libovolný trojúhelník. V tom je poloměr vynásoben součtem stran a děleno 4. Protože strany mají stejnou hodnotu, bude součet nahrazen součtem 3a. Nyní musíte odstranit "a", aby zůstala pouze hodnota poloměru. To bude vyžadovat výraz, ve kterém je strana dělena produktem 2 a sinusem protilehlé strany úhlu. Protože úhel je 60 °, bude sinusová hodnota √3 / 2. Pak bude strana vyjádřena poloměrem následujícím způsobem: a = √3R. Po jednoduché transformaci můžete přijít k výrazu pro oblast, která je uvedena na začátku.

Vzorec 3: obvodová kružnice a její poloměr jsou uvedeny

Je velmi podobná první. Pouze v číselníku se zobrazí číslo 3 a písmeno se změnilo na R.

S = 3/3/4 * R ² .

Vzhledem k tomu, že poloměr je dvakrát větší než je uvažováno v předchozím odstavci, je jasné, jak to dopadne. Jednoduše nahradí r r / 2. A provedou se nezbytné transformace.

Proto vzorec nelze vzpomenout. Mějte na paměti poměr poloměru, který je napsán a popsán kolem rovnostranného trojúhelníku kružnic.

Formula 4: známá výška

V tomto případě je oblast rovnostranného trojúhelníku:

S = n2 / √3.

Abychom pochopili, jak je tento vzorec dosažen, bude nutné znovu použít společné pro všechny trojúhelníky. Vypadá to jako produkt strany a výšky o ½. Nyní, abychom zjistili oblast rovnostranného trojúhelníku, je třeba si vzpomenout nebo odvodit matematický výraz pro výšku.

Je snadné se naučit, pokud využijete skutečnost, že výška se tvoří pravý trojúhelník. Proto výška může být nalezena jako noha - z Pythagorovy věty. Druhá noha bude rovna polovině strany, protože výška je také střední (to je známá vlastnost rovnostranného trojúhelníku). Pak bude výška určena jako druhá odmocnina rozdílu dvou čtverců. První "a" a druhá "a / 2". Po montáži ve druhém stupni a extrakci kořenů zůstává: n = (√3 / 2) * a. Z toho a = 2n / √3. Po jeho nahrazení do základního vzorce pro všechny trojúhelníky získáme výraz, který je uveden na začátku sekce.

Příklad č.1

Stav Vypočítejte plochu rovnostranného trojúhelníku, pokud je známo, že jeho strana je 4 cm.

Rozhodnutí. Jelikož je hodnota stran postavy známá, je nutné použít první vzorec.

Nejprve musíte umístit číslo 4. Z této akce získáte číslo 16. Nyní je sníženo o čtyři stojící v jmenovateli. Výsledkem je, že 4 a √3 zůstanou v čitateli a jmenovatel se rovná jednomu, což znamená, že to jednoduše nemůže být zaznamenáno. To je výsledek, který byl požadován k nalezení problému.

Odpověď: 4,3 cm2.

Příklad 2

Stav Všechny strany rovnostranného trojúhelníku se rovnají 2 2 dm. Vypočítat jeho plochu.

Rozhodnutí. Argumenty jsou stejné jako v prvním úkolu. Pouze hodnota bočního čtverce se bude lišit. Musí být samostatně zabudováno druhý stupeň 2 a iracionality. A výsledek bude následující: 4 * 2 = 8. Po snížení s jmenovatelem zůstanou 2 a √3 v čitateli zlomku a jmenovatel zmizí.

Odpověď: 2√3 dm ² .

Příklad číslo 3

Stav Kruh je zapsán do rovnostranného trojúhelníku, jehož poloměr je 2,5 cm. Je třeba vypočítat plochu trojúhelníku.

Rozhodnutí. Chcete-li vypočítat požadovanou hodnotu, musíte použít druhý vzorec.

Nejprve musí být hodnota poloměru čtvercová. Ukazuje se to 6.25. Pak je třeba tuto hodnotu vynásobit hodnotou 3. Výsledkem této akce bude číslo 18.75. Ale toto není konečná hodnota: bude mít faktor √3, který je přítomen ve použitém vzorci.

Odpověď: 18,75√3 cm2.

Příklad 4

Stav Je nutné určit, jaká je oblast rovnostranného trojúhelníku stejná, pokud je známa jeho výška - 3 dm.

Rozhodnutí. Samozřejmě musíte zvolit čtvrtý vzorec. S jeho pomocí, nejjednodušší způsob, jak najít odpověď na tento problém.

Stačí stačit číslo 3, tj. Výšku, která dá hodnotu 9. A pak ji rozdělíme o √3 ve vzorci.

Vzhledem k tomu, že v matematice není obvyklé, že v jmenovateli odpovědi necháváte iracionalitu, musíte se jí zbavit. K tomu je třeba, aby zlomek 9 / √3 byl vynásoben frakcí se stejným čitatelem a jmenovatelem, jmenovitě √3 / √3. Z této akce se v čitateli zobrazí hodnota 9√3 a číslo 3 se objeví v jmenovateli.

Tato zlomka může a měla by být snížena o 3. To je konečný výsledek.

Odpověď: plocha je 3,3 dm ² .

Příklad číslo 5

Stav Je uveden rovnostranný trojúhelník o ploše 27 cm2. Touto hodnotou potřebujete znát délku strany obrázku.

Rozhodnutí. Vzhledem k tomu, že jde o stranu, provede první vzorec. Z toho můžete okamžitě odvodit matematický výraz, který umožňuje určit stranu trojúhelníku.

K tomu musí být plocha vynásobena čtyřikrát a dělena odmocninou tří. Získejte hodnotu pro stranu na náměstí. Chcete-li dostat jen stranu, musíte extrahovat kořen. Výraz pro stranu bude vypadat takto: a = 2 * √ (S / √3).

Protože je oblast známá, můžete okamžitě provést výpočty. Radikální výraz vypadá jako kvocient 27 a √3. Potřeba zbavit se iracionality v jmenovateli. Ukazuje se, že je 27√3, děleno 3. Po redukci zůstává 1 v jmenovateli, které nemůžete psát, a 9√3 zůstane v čitateli.

Dalším krokem je extrahovat kořen z výsledného výrazu. První faktor udává hodnotu 3. Ale druhý, √3, vyžaduje pozornost. Chcete-li tento úkol zjednodušit, můžete extrahovat tyto kořeny a zaokrouhlit hodnoty.

√3 = 1,73; teď z něj znovu extrahujeme kořen a získáme 1,32.

Zůstává pouze násobit 2 a získat požadovaný výsledek.

Odpověď: strana je rovna 2,64 cm.