Jak zjistit výšku lichoběžníku: vzorec pro všechny příležitosti

Existuje několik odpovědí na jednoduchou otázku "Jak zjistit výšku lichoběžníku?", A to proto, že je možné zadat různé počáteční hodnoty. Proto se vzorce budou lišit.

Tyto vzorce lze pamatovat, ale jsou snadno odvozeny. Je pouze nutné aplikovat dříve studované věty.

Přijato ve vzorcích

Ve všech níže uvedených matematických údajích jsou tato čtení písmen správná.

Ve zdrojových datech: všechny strany

Chcete-li zjistit výšku lichoběžníku v obecném případě, musíte použít následující vzorec:

n = √ (c ² - (((a - c) ² + c ² - d ² ) / (2 (a - c))) ² ). Číslo 1.

Není to nejkratší, ale úkoly jsou poměrně vzácné. Obvykle můžete použít jiné údaje.

Vzorec, který vám říká, jak zjistit výšku lichoběžníkového lichoběžníku v téže situaci, je mnohem kratší:

n = √ (c ² - (a - c) 2/4). Číslo 2

V problému jsou uvedeny: strany a úhly na dolní základně

Předpokládá se, že úhel α je přiléhající k straně s označením "c", respektive úhlem β k straně d. Pak vzorec, jak najít výšku lichoběžníku, bude obecně:

n = c * sin α = d * sin β. Číslo 3

Pokud je číslo rovnoměrné, můžete tuto možnost použít:

n = c * sin α = ((a-c) / 2) * tg α. Číslo 4

Známé: diagonály a úhly mezi nimi

Tyto údaje jsou typicky spojeny ještě známými hodnotami. Například základna nebo střední řádek. Pokud jsou uvedeny důvody, odpověď na otázku, jak najít výšku lichoběžníku, je užitečná v následujícím vzorci:

n = (d ₁ * d ₂ * sin γ) / (a ​​+ b) nebo n = (d ₁ * d ₂ * sin δ) / (a ​​+ b). Číslo 5.

Toto je pro celkový vzhled čísla. Je-li přidán isoscen, pak se záznam změní následovně:

n = (d ₁ ² * sin γ) / (a ​​+ b) nebo n = (d ₁ ² * sin δ) / (a ​​+ b). Číslo 6.

Když se problém zabývá středovou čárou lichoběžníku, vzorce pro zjištění jeho výšky se dělí takto:

n = (d ₁ * d ₂ * sin y) / 2m nebo n = (d ₁ * d ₂ * sin δ) / 2m. Pokoj 5a.

n = (d ₁ ² * sin γ) / 2m nebo n = (d ₁ ² * sin δ) / 2m. Číslo 6a.

Mezi známými hodnotami: oblast se základnami nebo střední čárou

Jsou to možná nejkratší a nejjednodušší vzorce, jak najít výšku lichoběžníku. Pro libovolný tvar bude:

n = 2S / (a ​​+ c). Číslo 7.

Je to stejné, ale s dobře známou střední čárou:

n = s / m. Pokoj 7a.

Zvláštní, ale pro lichoběžníkový lichoběžník budou vzorce vypadat stejně.

Úkoly

№1. Na definici úhlů ve spodní části lichoběžníku.

Stav Je dán rovnoběžný lichoběžník, jehož strana je 5 cm, její základy jsou 6 a 12 cm, je nutné najít sinus ostrého úhlu.

Rozhodnutí. Pro usnadnění byste měli zadat notaci. Nechť dolní levý vrchol je A, všechny ostatní ve směru hodinových ručiček: B, C, D. Dolní základna bude označena HELL, horní základna bude BC.

Je třeba vytyčit výšku z vrcholů B a C. Body, které označují konce výšky, budou označeny H ₁ a H ₂ . Vzhledem k tomu, že ve tvaru BCH ₁ H ₂ jsou všechny úhly rovné, je to obdélník. To znamená, že segment H ₁ H ₂ je 6 cm.

Teď musíme zvážit dva trojúhelníky. Jsou stejné, protože jsou obdélníkové s identickou hypotenzí a vertikálními nohami. Z toho vyplývá, že jejich menší nohy jsou stejné. Proto mohou být definovány jako kvocient rozdílu. Ta se získává odečtením od dolní základny horní části. To bude děleno 2. To znamená, že 12 - 6 musí být děleno 2. AN ₁ = H ₂ D = 3 (cm).

Nyní z Pythagorovy věty potřebujete najít výšku lichoběžníku. Je třeba najít sinus úhlu. BH ₁ = √ (5 ² - 3 ² ) = 4 (cm).

Pomocí znalosti o tom, jak je sinus ostrého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku, můžeme napsat následující výraz: sin α = BH ₁ / AB = 0.8.

Odpověď zní. Požadovaný sinus je 0,8.

№2. Najděte výšku lichoběžníku známou tečkou.

Stav Pro rovnoměrný lichoběžník musíte vypočítat výšku. Její základna je známá jako 15 a 28 cm. Dan dotčený ostrým úhlem: 11/13.

Rozhodnutí. Označení vrcholů je stejné jako v předchozím úkolu. Opět musíte držet dvě výšky od horních rohů. Analogicky s řešením prvního problému musíte najít AH ₁ = H ₂ D, které jsou definovány jako rozdíl 28 a 15 dělené dvěma. Po výpočtech se ukázalo: 6,5 cm.

Vzhledem k tomu, že tečna je poměr dvou nohou, můžeme napsat následující rovnost: tg α = AH ₁ / BH ₁ . Navíc je tento poměr 11/13 (podmínkou). Vzhledem k tomu, že AN ₁ je známo, je možné vypočítat výšku: VN ₁ = (11 * 6.5) / 13. Jednoduché výpočty poskytují výsledek 5,5 cm.

Odpověď zní. Požadovaná výška je 5,5 cm.

№3. Pro výpočet výšky známých úhlopříček.

Stav O lichoběžníku je známo, že jeho úhlopříčky jsou 13 a 3 cm. Je třeba znát jeho výšku, pokud součet základny je 14 cm.

Rozhodnutí. Označení obrázku je stejné jako předtím. Předpokládejme, že reproduktor je menší diagonální. Z vrcholu C musíte zadat požadovanou výšku a označit ji CH.

Nyní musíte provést další konstrukci. Z úhlu C musíte nakreslit přímku rovnoběžnou s větším úhlopříčkem a najít bod jejího průniku s pokračováním strany krevního tlaku. Bude to D ₁ . Objevil se nový lichoběžník, uvnitř kterého je nakreslený trojúhelník ASD ₁ . Je také nezbytné pro další řešení problému.

Požadovaná výška bude také v trojúhelníku. Proto můžete použít vzorce zkoumané v jiném tématu. Výška trojúhelníku je definována jako výrobek čísla 2 a plocha vydělená stranou, na kterou je vykreslena. A strana se rovná součtu základů původního lichoběžníku. To je založeno na pravidle, že byla provedena dodatečná konstrukce.

Ve zkoumaném trojúhelníku jsou známy všechny strany. Pro zjednodušení uvádíme poznámku x = 3 cm, y = 13 cm, z = 14 cm.

Nyní můžete počítat plochu pomocí věty Gerony. Poloměr bude p = (x + y + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (cm). Pak vzorec pro oblast po nahrazení hodnot bude vypadat takto: S = √ (15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (cm ² ).

Nyní musíte počítat výšku: n = (2 * 6 √10) / 14 = 6√10 / 7 (cm).

Odpověď zní. Výška je 6 × 10/7 cm.

№4. Chcete-li vyhledat výšku po stranách.

Stav Je uveden lichoběžník, jehož tři strany jsou 10 cm a čtvrtá 24 cm. Musíte vědět jeho výšku.

Rozhodnutí. Vzhledem k tomu, že číslo je rovnoměrné, pak budete potřebovat číslo vzorce 2. V ní stačí nahradit všechny hodnoty a počítat. Bude to vypadat takto:

n = √ (10 ² - (10 - 24) 2/4) = √51 (cm).

Odpověď zní. n = 51 cm