Problémy vyřešené pomocí rovnice: příklady, vysvětlení. Problémy s algebry

19. 3. 2020

Dřív nebo později, jakýkoli školák ve výuce algebry narazí na problémy vyřešené rovnicí. Zpočátku vzhled písmen namísto obvyklých čísel a akcí s nimi zaměňuje i ty nejnadanější, ale pokud se podíváte, všechno není tak obtížné, jak se zdá na první pohled.

Algoritmus rozhodnutí

Před provedením konkrétních příkladů je třeba pochopit algoritmus pro řešení problémů pomocí rovnic. V jakékoliv rovnici existuje neznámá, nejčastěji označovaná písmenem X. Také v každém problému je to, co je třeba najít, totéž neznámý. Právě toto by mělo být označeno jako X. A následně, podle stavu problému, přidávat, odečíst, množit a rozdělit - provést potřebné akce.

problémy vyřešené pomocí rovnice

Po zjištění neznámého je nutné provést kontrolu, abyste se ujistili, že problém je vyřešen správně. Stojí za zmínku, že děti již na základní škole začínají řešit problémy pomocí rovnic. Příklady toho jsou ty úkoly, které je třeba řešit segmenty, které jsou nejkomplexnějšími analogy písmen neznámých.

Základ základů - problém koše

Takže se snažíme v praxi aplikovat řešení problémů pomocí rovnic, vysvětlení algoritmu, které bylo dáno o něco vyšší.

Je jí udělen úkol: bylo zasazeno několik košů s jablky. Nejprve byly prodány 3 koše a bylo dokončeno dalších 8 košů. Výsledkem bylo 12 košů. Kolik košů jablek bylo původně sklizeno ?

problémy s algebry

Řešení problému začínáme tak, že označujeme neznámé - tj. Počáteční počet košů - písmeno X. Teď začínáme vytvářet rovnici: X (počáteční množství) - 3 (prodané koše) + 8 (ty, které byly shromážděny později) = 12 (celkový počet košů ), to je X - 3 + 8 = 12. Řešení jednoduché rovnice, dostaneme, že X = 7. Ujistěte se, že provedete test, který nahrazuje nalezené číslo do rovnice: 7 - 3 + 8 je skutečně roven 12, to znamená, že problém je vyřešen správně.

Upevnění: koncertní sály

Dává se následující úkol: Ve dvou koncertních halách je 450 míst. Je známo, že v jedné hale je 4krát více míst než v druhém. Potřebujete vědět, kolik míst v každé místnosti .

řešení problémů pomocí rovnice

Abychom řešili podobné problémy v algebře, musíme znovu použít rovnici. Víme, že součet dvou čísel, z nichž jeden je čtyřikrát větší než druhý, je 450. Nechť počet míst v menší síni, neznámé, se rovná X, pak počet míst ve větší síni je 4 * X = 4X. Proto 450 = X + 4X = 5X. A pak musíte vyřešit standardní rovnici 450 = 5X, kde X = 450/5 = 90, to znamená, že v menší sále je 90 míst, což znamená ve větším - 90 * 4 = 360. Chcete-li ověřit, zda je problém vyřešen správně, můžete zkontrolovat nerovnost: 360 + 90 = 450, což znamená, že odpověď je správná.

Klasické: knihovny

Ale problémy vyřešené rovnicí mohou být komplikovanější. Například tam jsou tři police s knihami. Na první poličce je ještě dalších 8 knih, než na druhém a třetí na druhém a na prvním a třetím poli je stejný počet knih. Kolik knih je na každém poli?

Je zřejmé, že musíte odtrhnout druhou polici, která se nachází v obou podmínkách. Určíme-li počet knih na X, pak na prvním poli X + 8 knih a na třetím - X * 3 knihách, zatímco X + 8 = 3X. Řešení rovnice získáme X = 4. Provedeme test, nahrazující neznámé rovnosti: 4 + 8 se skutečně rovná 3 * 4, to znamená, že problém je správně vyřešen.

Pokračujte dále: bobři

Jak je vidět, řešení problémů s rovnicí je mnohem jednodušší, než se zdá na první pohled. Opravíme dovednosti práce s rovnicemi jiným úkolem. První bobr, který za jeden den hýbal stromy. Druhý bobr nabral 6krát více. Třetí bobr má 2 x více stromů než první, ale 3krát méně než druhý. Kolik stromů udělalo každý kousnutí bobra?

řešení problémů pomocí příkladů rovnic

Úkol není tak složitý, jak se zdá na první pohled. Nejdříve najdeme neznámé - v tomto problému se jedná o počet stromů, které hnízdí první bobr. Následně druhá bobrnice zničila 6 x X stromů a třetí 2 x X a toto číslo je 3 krát méně než 6 * X. Proveďte rovnici: 6X = 3 * 2X. Po vyřešení tohoto problému získáváme, že první bobr má jediný strom, pak druhý - 6 a třetí - 2. Při nahrazení čísel v rovnici rozumíme, že problém je vyřešen správně.

Korelujeme rovnice a podmínky

Pokud vám řekne: "Pro každý problém vyberte příslušnou rovnici," - nebojte se - je to zcela reálné.

Jsou uvedeny následující rovnice:

  1. 6 + X = 2X;
  2. 6 = 2X;
  3. 2 + X = 6 .

Podmínky těchto úkolů jsou následující:

  1. Chlapec měl 6 jablek a dívka byla dvakrát menší, kolik jablek má dívka?
  2. Na stole jsou tužky a tužky, je známo, že na stole jsou 6 pera a 2 tužky méně, kolik penic a kolik tužek na stole?
  3. Vanya má šest mincí více než Tanya a Tanya má dvakrát méně než Ani, kolik mincí má každé dítě, pokud mají Vanya a Ani stejné mince?

Děláme rovnice pro každý problém.

  • V prvním případě nepoznáme počet jablek v dívce, to znamená, že se rovná X, víme, že X je 2krát menší než 6, tj. 6 = 2X, takže rovnice č. 2 odpovídá této podmínce.
  • Ve druhém případě X udává počet tužek, pak počet pera X + 2, ale víme, že existuje 6 per, to znamená, X + 2 = 6, což znamená, že se zde hodí třetí rovnice.
  • Co se týče posledního úkolu, číslo 3, počet taninů, který se vyskytuje ve dvou podmínkách, je neznámý neznámý, pak má Vanya mince 6 + X a Ani má 2X mince, tj. 6 + X = 2X - je zřejmé, že první rovnice.

algoritmus řešení problémů pomocí rovnic

Pokud máte problémy vyřešené pomocí rovnice, na kterou potřebujete najít vhodnou rovnost, pak vytvořte rovnici pro každý problém a pak propojte, co máte s těmito rovnicemi.

Komplikovat: systém rovnic - cukroví

Dalším stupněm uplatnění rovnosti dopisů v algebře jsou problémy vyřešené systémem rovnic. V nich jsou dvě neznámé a jedna z nich je vyjádřena z hlediska ostatních na základě dostupných dat. Je známo, že Pasha a Katie spolu 20 cukrovinek. Je také známo, že pokud by Pasha měla 2 další bonbóny, měl by 15 cukrovinek, kolik cukrovinek každé?

V tomto případě nevíme ani počet Katy bonbónů, ani počet sasských cukrovinek, a proto máme dvě neznámé, X a Y, resp. Zároveň víme, že Y + 2 = 15.

Pro vytvoření systému získáváme dvě rovnice:

  1. X + Y = 20;
  2. Y + 2 = 15.

A pak jednáme podle pravidel řešení systémů: vyvodíme Y z druhé rovnice, dostaneme Y = 15 - 2 a pak ji nahrajeme do prvního, tedy X + Y = X + (15 - 2) = 20. Po vyřešení rovnice dostaneme X = 7, pak Y = 20 - 7 = 13. Zkontrolujte správnost řešení, nahrazením Y v druhé rovnici: 13 + 2 je skutečně rovno 15, to znamená, Katya má 7 cukrovinek a pro Pasha - 13.

Ještě obtížnější: kvadratické rovnice a půda

Existují také problémy s algebry, které jsou řešeny kvadratická rovnice. V nich není nic komplikovaného, ​​pouze standardní systém je během řešení transformován do kvadratické rovnice. Například pozemek o rozloze 6 hektarů (60 000 čtverečních metrů) je uveden, plota, která jej obklopuje, je dlouhá 1000 metrů. Jaká je délka a šířka pozemku?

řešení problémů pomocí vysvětlení rovnic

Vyrovnáváme rovnici. Délka plotu je obvodem lokality, a proto je-li délka označena symbolem X a šířka je Y, pak 1000 = 2 * (X + Y). Tato rovnice je stejná, tj. X * Y = 60000. Z první rovnice odvozujeme X = 500 - Y. Nahrazujeme ji do druhé rovnice (500 - Y) * Y = 60000, dostaneme strany rovnající se 200 a 300 metrům - kvadratická rovnice má dva kořeny, z nichž jeden často není vhodný pro daný stav, například je negativní, zatímco odpověď by měla být počet přirozených proto je ověření povinné.

Opakujte: stromy v zahradě

Stanovením tématu řešíme další problém. Na zahradě je několik jabloní, 6 hrušek a několik třešní. Je známo, že celkový počet stromů je 5krát vyšší než počet jabloní, zatímco tam jsou 2krát více třešní než jabloně. Kolik stromů je na zahradě a kolik stromů je na zahradě?

pro každý problém vyberte příslušnou rovnici

Pro neznámé X, jak je zřejmě již jasné, označujeme jabloně, pomocí kterých můžeme vyjádřit další množství. Je známo, že Y = 2X a Y + X + 6 = 5X. Nahrazením Y z první rovnice získáme rovnost 2X + X + 6 = 5X, tedy X = 3, proto na zahradě Y = 3 * 2 = 6 třešní. Zkontrolujeme a zodpovíme druhou otázku a přidáme výsledné hodnoty: 3 + 6 + 6 = 3 * 5, tj. Problém je vyřešen správně.

Kontrola: součet čísel

Řešení problémů pomocí rovnice není zdaleka tak obtížné, jak se zdá na první pohled. Hlavní věc není dělat chybu při výběru neznáma a co je ještě důležitější, vyjádřit to správně, zvláště pokud mluvíme o systému rovnic. Závěrem je dán poslední problém, mnohem více zapojený než ty, které jsme uvedli výše.

Součet tří čísel je 40. Je známo, že X = 2Y + 3Z a Y = Z - 2/3. Co je X, Y a Z rovno?

Takže začneme s tím, jak se zbavíme prvního neznámého. Namísto X nahrazujeme odpovídající rovnici za rovnost, dostaneme 2Y + 3Z + Z + Y = 3Y + 4Z = 40. Dále nahrajeme známou Y, abychom získali rovnost 3Z - 2 + 4Z = 40, odkud Z = že je rovno 5,2 a X se rovná 18. S pomocí ověření jsme přesvědčeni o pravdivosti výrazu, proto je problém vyřešen správně.

Závěr

Takže, jaké jsou problémy vyřešené rovnicí? Jsou stejně děsiví, jak se zdá na první pohled? V žádném případě! S náležitou péčí je pochopit není obtížné. A jakmile pochopíte algoritmus, v budoucnu budete moci klikat na podobné hádanky, a to i ty nejsložitější, jako jsou semena. Hlavní věc je pozornost, je to ona, která pomůže správně zjistit neznámé a řeší někdy soubor rovnic najít odpověď.