Vlastnosti a vzorce obdélníkového hranolu

Prism je jednou z dokonalých volumetrických postav spolu s kuličkou, válečkem a pyramidou, jejichž vlastnosti jsou zvažovány ve zvláštní sekci geometrie - stereometrie. V tomto článku jsou diskutovány hlavní charakteristiky pravoúhlého hranolu.

Prismová postava

Mnoho lidí ví o trojúhelníkových hranolech nebo šestiúhelnících, ale nikdo nemá jasnou představu o tom, co je toto číslo obecně. V geometrii pod ním rozumí prostorový objekt, který je ohraničen dvěma identickými polygony a několika čtvercovými čtvercemi. Dva polygony se nazývají hranolové hranoly. Leží v rovnoběžných rovinách. Všechny kvadrilaterály jsou rovnoběžníky a tvoří boční povrch obrázku.

Hlavní vzorce a vlastnosti hranolu se týkají problematiky určení objemu, plochy jeho povrchu a počtu prvků tvořících toto číslo. Jeho složení zahrnuje vrcholy, hrany a tváře. Množství těchto prvků je navzájem spojeno výrazem Euler pro polyhedru. Má následující formu:

Počet okrajů = počet tváří + počet vrcholů - 2

Vzhledem k tomu, že boční plocha hranolu je vždy reprezentována paralelogramem, jeho hlavní charakteristika závisí na typu polygonu ležícího v podstavcích tohoto obrázku. Pokud je polygon trojúhelník, pak hranol je nazýván trojúhelníkem, pokud je čtyřúhelník čtyřúhelníkový a tak dále.

Obdélníkový hranol

Pokud je úhel mezi každou stranou hranolu a jeho základnou 90 ^° , pak se taková postava nazývá obdélník. Všimněte si, že hovoříme o úhlu mezi stranami, nikoliv mezi žebry. Často se taková postava nazývá přímý hranol.

Když je označený úhel 90 ^o , pak se všechny paralelogramy automaticky stanou obdélníky. To je další důvod, proč se tento hranol nazývá obdélník. Níže uvedený obrázek ukazuje, jak vypadá obdélníkový hranol.

Zde vidíme, že každý ze tří hranolů je od ostatních odlišný typem polygonu, který je základem tvaru. Na obrázku jsou znázorněny trojúhelníkové, čtyřhranné a pětiúhelníkové hranoly. Počet obdélníků pro každý z nich je 3, 4 a 5, resp.

Důležitou vlastností pravoúhlého hranolu, která ho odlišuje od šikmého úhlu, je skutečnost, že délka jeho bočního okraje se shoduje s výškou postavy. Tato vlastnost je velmi vhodná při výpočtu její plochy a objemu.

Správný hranol

Každý přímý hranol, u kterého leží normální polygon, se nazývá pravidelný. Zadaný polygon musí mít stejnou délku ze všech stran a stejných úhlů. Takový obdélník je rovnostranný trojúhelník, čtverec, pentagon a tak dále.

Na následujícím obrázku jsou dva hranoly. Levý je správný, protože na jeho základně je čtverec a je rovný. Správný, navzdory skutečnosti, že přímka je rovná, není správná, protože její základna je libovolný čtyřúhelník.

Jediný správný hranol, který má své vlastní jméno, je krychle. Získá se, když se výška obrázku shoduje s délkou strany čtverce na základně.

Vzhledem k tomu, že plocha pro pravidelný mnohoúhelník je snadno vypočtená, pak pro každý pravidelný hranol jsou známy vzorce pro jeho plochu a objem.

Oblast pravidelného polygonu

Než dáte vzorce pro plochu a objem obdélníkového hranolu, zvažte pravidelný mnohoúhelník.

Níže uvedený obrázek ukazuje soubor pravidelných mnohoúhelníků, s výjimkou kruhu.

Je vidět, že pro každý z nich se počet stran shoduje s počtem rohů. Navíc všechny strany a úhly jsou stejné. Tyto vlastnosti nám umožňují poskytnout vzorec, který je univerzální pro všechny pravidelné polygony a dovoluje nám vypočítat jejich plochu. Vzorec má podobu:

S _n = n / 4 * a ² * ctg (pi / n)

Kde a je délka strany, n je počet stran (vrcholů) tvaru. Symbol ctg označuje funkci kotangentní trigonometrie.

Ukážeme, jak tento výraz používat. Například vypočítáme plochu rovnostranného trojúhelníku. Pro něj n = 3, pak:

S ₃ = 3/4 * a ² * ctg (pi / 3) = 3/4 * a ² * 1 / √3 = √ 3/4 * a ²

Nyní použijte tento vzorec pro čtverec. Máme:

S ₄ = 4/4 * a ² * ctg (pi / 4) = a ² * 1 = a ²

To znamená, že jsme získali známý výraz pro náměstí náměstí.

Prismový povrch

Když byla geometrická definice dotyčného čísla dána, ukázalo se, že se skládá ze dvou základů a několika paralelogramů. Toto číslo je přesně stejné jako počet stran polygonu na základně. Povrch požadovaného čísla může být zapsán podle následujícího vzorce:

S = 2 * S _o + S _b

Kde S _o - základní plocha, S _b - boční plocha. Vzhledem k tomu, že druhá se skládá z n rovnoběžných rovnic, její hodnota se rovná součtu jejich ploch.

V případě pravidelného přímého hranolu bude boční plocha tvořena obdélníky se stranami a a h, kde a je délka základní strany, h je výška hranolu. Pro případ n pravidelného čtverce získáváme vzorec pro oblast S _celého hranolu:

S _tot = n / 2 * a ² * ctg (pi / n) + n * a * h

Níže uvedený obrázek ukazuje skenování šestihranného hranolu.

Je zřejmé, že tento tvar je tvořen dvěma pravidelnými šestiúhelníky a šesti identickými obdélníky, z nichž jedna strana je rovna straně šestiúhelníku. Při použití výše uvedeného výrazu pro tento hranol získáme:

S ⁶ _tot = _6/2 * a ² * ctg (pi / 6) + 6 * a * h = 3 * a * (√3 * a + 2 * h)

Formulář objemu

Objem hranolu je obecně vypočten pomocí následujícího jednoduchého vzorce:

V = S _o * h

U obdélníkového tvaru je výška jeho okraje, takže tento výraz je snadno použitelný. Například vypočítáme objem pro trojúhelníkový pravidelný hranol. Plocha jeho základny již byla vypočítána, je rovna:

S ₃ = √3 / 4 * a ²

Hodnota objemu pro tvar bude následující:

V = S ₃ * h = √3 / 4 * a ² * h

Vzorce pro přímý hranol s pravidelným polygonem ve spodní části ukazují, že všechny vlastnosti těchto čísel lze získat, pokud znáte pouze dva parametry: délku strany n-gonu a výšku hranolu.