Relativní a absolutní chyba: koncept, výpočet a vlastnosti

V našem věku člověk vynalezl a používá obrovské množství různých měřicích přístrojů. Ale bez ohledu na to, jak dokonalá je jejich výrobní technologie, všichni mají větší či menší chyby. Tento parametr je zpravidla uveden na samotném přístroji a za účelem posuzování přesnosti určeného množství musí být schopen porozumět tomu, co znamenají čísla uvedená na značení. Navíc relativní a absolutní chyba nevyhnutelně vznikají při složitých matematických výpočtech. Je široce používán ve statistikách, průmyslu (kontrola kvality) a v řadě dalších oblastí. Jak je tato hodnota vypočtena a jak ji interpretovat - to je přesně to, o čem se tento článek týká.

Absolutní chyba

Nechť x je přibližná hodnota jakékoliv hodnoty získané například jedním měřením a x ₀ je její přesná hodnota. Teď vypočítáme modul rozdílu mezi těmito dvěma čísly. Absolutní chyba - to je přesně ten význam, který jsme dostali v důsledku této jednoduché operace. V jazyce vzorce může být tato definice zapsána v této podobě: Δ x = | x - x 0 |.

Relativní chyba

Absolutní odchylka má jednu důležitou nevýhodu - neumožňuje posoudit stupeň závažnosti chyby. Nakupujeme například 5 kg brambor na trhu a bezesporu prodávající prodává 50 g v jeho prospěch při měření hmotnosti. To znamená absolutní chyba 50 gramů. Pro nás bude taková chyba trochu drobná a my jí ani nebudeme věnovat pozornost. Představte si, co se stane, pokud dojde k podobné chybě při přípravě léku? Tady bude všechno mnohem vážnější. A při načítání nákladního automobilu jsou odchylky jistě mnohem vyšší než tato hodnota. Absolutní chyba je tedy sama o sobě neinformující. Kromě toho se velmi často vypočítá další odchylka, která se rovná poměru absolutní chyby přesné hodnotě čísla. To je napsáno podle následujícího vzorce: δ = Δ x / x ₀ .

Vlastnosti chyb

Předpokládejme, že máme dvě nezávislé hodnoty: x a y. Musíme vypočítat odchylku přibližné hodnoty jejich součtu. V tomto případě můžeme vypočítat absolutní chybu jako součet dříve vypočítaných absolutních odchylek každého z nich. V některých měřeních se může stát, že chyby při určování hodnot x a y budou vzájemně kompenzovány. A může se stát, že v důsledku přidání odchylek se zvýší na maximum. Proto při výpočtu celkové absolutní chyby je třeba zvážit nejhorší ze všech možností. Totéž platí pro rozdíl v chybách několika veličin. Tato vlastnost je charakteristická pouze pro absolutní chybu a nelze ji použít na relativní odchylku, neboť to nevyhnutelně povede k nesprávnému výsledku. Zvažte tuto situaci v následujícím příkladu.

Úkol

Předpokládejme, že měření uvnitř válce ukázalo, že vnitřní poloměr (R ₁ ) je 97 mm a vnější (R ₂ ) je 100 mm. Je nutné stanovit tloušťku stěny. Nejprve zjistěte rozdíl: h = R ₂ - R ₁ = 3 mm. Pokud úloha nenaznačuje, s jakou absolutní chybou se rovná, pak je považována za polovinu rozdělení stupnice měřicí zařízení. Takže Δ (R2) = Δ (R1) = 0,5 mm. Celková absolutní chyba je: Δ (h) = Δ (R ₂ ) + Δ (R ₁ ) = 1 mm. Nyní vypočítáme relativní odchylku všech veličin:

S (Rl) = 0,5 / 100 = 0,005,

S (Rl) = 0,5 / 97 ≈ 0,0052,

Δ (h) = Δ (h) / h = 1/3 ≈ 0.3333 >> δ (R1).

Jak je vidět, chyba měření obou poloměrů nepřesahuje 5,2% a chyba při výpočtu jejich rozdílu - tloušťka stěny válce - činí až 33, (3)%!

Následující vlastnost zní následovně: relativní odchylka produktu několika čísel je přibližně rovna součtu relativních odchylek jednotlivých faktorů:

d (xy) ≈ δ (x) + δ (y).

Navíc toto pravidlo platí bez ohledu na počet odhadovaných hodnot. Třetí a poslední vlastnost relativní chyby spočívá v tom, že relativní odhad kthového výkonu je přibližně v k | krát relativní chyba původního čísla:

d (x ^k ) ≈ | k | x δ (x).