Pravidla, kterými se přidává vektor

Jak je přidání vektorů, není pro studenty vždy jasné. Děti nereprezentují to, co leží za nimi. Musíte prostě zapamatovat si pravidla a nemyslet na podstatu. Proto se jedná o principy přidávání a odečítání vektorových veličin, které vyžadují spoustu znalostí.

Výsledkem přidání dvou nebo více vektorů je vždy jeden. Navíc to bude vždy stejné bez ohledu na příjem jeho polohy.

Nejčastěji se ve školní geometrii považuje přidání dvou vektorů. Může být provedeno pravidlem trojúhelníku nebo rovnoběžníku. Tyto obrázky vypadají jinak, ale výsledek akce je jeden.

Jak se doplňuje pravidlo trojúhelníku?

Používá se, když jsou vektory nekolidované. To znamená, že neleží na jedné čáře nebo na rovnoběžných čarách.

V tomto případě by měl být první vektor odložen z libovolného bodu. Od jeho konce je nutné provádět paralelu a rovnat se druhé. Výsledkem bude vektor začínající od počátku prvního a končící na konci druhé. Obrázek se podobá trojúhelníku. Název pravidla.

Pokud jsou vektory kolineární, může se toto pravidlo použít také. Pouze výkres bude umístěn podél jednoho řádku.

Jak je přidání podle pravidla paralelogramu?

Opět? se vztahuje pouze na nekolidované vektory. Stavba se provádí na jiném principu. I když je počátek stejný. Je nutné odložit první vektor. A od počátku - druhý. Na základě nich dokončete rovnoběžník a nakreslete diagonál od začátku obou vektorů. Bude to výsledek. To je způsob přidání vektorů podle pravidla rovnoběžníku.

Zatím byly dvě. A co když jsou 3 nebo 10? Použijte následující trik.

Jak a kdy platí pravidla polygonu?

Pokud chcete provést přidání vektorů, jejichž počet je více než dva, neměli byste se bát. Postačí je postupně odložit a spojit začátek řetězu s jeho koncem. Tento vektor bude požadovanou součtem.

Jaké vlastnosti platí pro akce s vektory?

O nulovém vektoru. Což tvrdí, že při jeho přidání se získá originál.

Na opačném vektoru. To je ten, který má opačný směr a je v rovnováze s hodnotou. Jejich suma bude rovna nule.

Komutativita přidávání. Co je znáno od základní školy. Změna umístění položek nezmění výsledek. Jinými slovy, bez ohledu na to, který vektor se má odložit první. Odpověď bude stále správná a jedinečná.

Na asociativitě přidávání. Tento zákon umožňuje přidávat ve dvojicích libovolné vektory z trojnásobku a přidat k nim třetí. Pokud jej píšete pomocí značek, získáte následující informace:

první + (druhý + třetí) = druhý + (první + třetí) = třetí + (první + druhý).

Co je známo o rozdílech vektorů?

Samostatná operace odečítání neexistuje. To je způsobeno skutečností, že je ve skutečnosti doplněním. Pouze druhý z nich má opačný směr. A pak se vše dělá, jako kdyby byl zvažován vektorový přírůstek. Proto prakticky nemluví o jejich odlišnostech.

Aby bylo možné zjednodušit práci s jejich odečítáním, změnila se pravidla trojúhelníku. Nyní (při odečtení) musí být druhý vektor odložen od začátku prvního vektoru. Odpověď bude ta, která spojuje koncový bod odpočitatelného s ním. I když se můžete odložit, jak bylo popsáno výše, jednoduše změnou směru druhého.

Jak najít sumu a rozdíly vektorů v souřadnicích?

Problém udává souřadnice vektorů a potřebujete znát jejich hodnoty pro konec. V této konstrukci není nutné provádět. To znamená, že můžete použít jednoduché vzorce, které popisují pravidlo přidávání vektorů. Vypadají takto:

a (x, y, z) + v (k, l, m) = c (x + k, y + 1, z + m);

a (x, y, z) -c (k, l, m) = c (xk, yl, zm).

Je snadné si všimnout, že souřadnice, které stačí přidat nebo odečíst, závisí na konkrétním úkolu.

První příklad s řešením

Stav Vzhledem k obdélníku AVSD. Jeho strany jsou 6 a 8 cm. Průsečík diagonálů je označen písmenem O. Je třeba vypočítat rozdíl ve vektorů AO a VO.

Rozhodnutí. Nejprve je třeba nakreslit tyto vektory. Jsou orientovány z vrcholů obdélníku na průsečík diagonálů.

Pokud se podíváte pozorně na výkres, uvidíte, že vektory jsou již zarovnány tak, že druhý z nich je v kontaktu s koncem první. To je jen jeho směr je špatný. Musí začít od tohoto bodu. To je v případě, že jsou vektory přidány, a v problému - odčítání. Zastavte Tato akce znamená, že musíte přidat protilehlý vektor. To znamená, že VO je třeba nahradit OB. A ukáže se, že dva vektory již vytvořily pár stran od pravomoci trojúhelníku. Výsledkem jejich přidání, tj. Požadovaného rozdílu, je vektor AB.

A to se shoduje se stranou obdélníku. Aby bylo možné zaznamenat číselnou odpověď, bude zapotřebí následující. Nakreslete obdélník tak, aby velká strana byla vodorovně. Číslování vrcholů začíná vlevo dole a pokračuje proti směru hodinových ručiček. Délka vektoru AB se bude rovnat 8 cm.

Odpověď zní. Rozdíl mezi AO a VO je 8 cm.

Druhý příklad a jeho podrobné řešení

Stav Diagonální diagonální kosočtverec je rovna 12 a 16 cm. Bod jejich průniku je označen písmenem O. Vypočtěte délku vektoru tvořeného rozdílem ve vektorů AO a VO.

Rozhodnutí. Označení vrcholů kosočtverce je stejná jako v předchozím problému. Stejně jako řešení prvního příkladu se ukazuje, že požadovaný rozdíl je rovný vektoru AB. A její délka není známa. Řešení problému se snížilo, aby se vypočítala jedna ze stran kosočtverce.

Pro tento účel je třeba zvážit trojúhelník ABO. Je obdélníkový, protože úhlopříčka kosočtverce se protíná pod úhlem 90 stupňů. A jeho nohy jsou rovné polovině diagonálů. To znamená, že 6 a 8 cm. Strana hledaná v problému se shoduje s hypotenou v tomto trojúhelníku.

Abychom to našli, potřebujeme Pythagorovu větu. Čtvrtina hypotenze se rovná součtu čísel 6 ² a 8 ² . Po zarovnání jsou hodnoty 36 a 64. Jejich součet je 100. Z toho vyplývá, že hypotenze je 10 cm.

Odpověď zní. Rozdíl mezi vektory AO a HE je 10 cm.

Třetí příklad s podrobným řešením

Stav Vypočtěte rozdíl a součet dvou vektorů. Jejich souřadnice jsou známy: v první - 1 a 2, ve druhé - 4 a 8.

Rozhodnutí. Chcete-li zjistit částku, musíte přidat dvojice první a druhé souřadnice. Výsledkem budou čísla 5 a 10. Odpověď bude vektor se souřadnicemi (5; 10).

Pro rozdíl musíte provést odečítání souřadnic. Po provedení této akce získáte čísla -3 a -6. Budou to souřadnice požadovaného vektoru.

Odpověď zní. Součet vektorů je (5; 10), jejich rozdíl je (-3; -6).

Čtvrtý příklad

Stav Délka vektoru AB je 6 cm, BC - 8 cm. Druhý je vynesen z konce prvního pod úhlem 90 stupňů. Vypočítejte: a) rozdíl modulů vektorů BA a BC a modul rozdílu BA a BC; b) součet stejných modulů a modul součtu.

Řešení: a) Délky vektorů jsou již uvedeny v problému. Proto, výpočet jejich rozdíl není obtížné. 6 - 8 = -2. Situace s rozdílovým modulem je poněkud komplikovanější. Nejprve musíte vědět, který vektor bude výsledkem odečtení. Pro tento účel byste měli odložit vektor BA, který je směrován v opačném směru AB. Pak od konce držet vektor slunce, nasměrování ve směru opačné k originálu. Výsledkem odečtení je vektor CA. Jeho modul lze vypočítat podle Pythagorovy věty. Jednoduché výpočty vedou k hodnotě 10 cm.

b) Součet modulů vektorů je 14 cm. Chcete-li vyhledat druhou odpověď, je nutná určitá konverze. Vektor BA je opačně zaměřen na to, co daná - AB. Oba vektory jsou směrovány z jednoho bodu. V této situaci můžete použít pravidlo rovnoběžníku. Výsledkem přidání bude diagonální a ne jen rovnoběžník, ale obdélník. Její diagonály jsou stejné, což znamená, že modul součtu je stejný jako v předchozím odstavci.

Odpověď: a) -2 a 10 cm; b) 14 a 10 cm.