Objem kužele, jeho výpočet

Geometrie jako věda byla vytvořena ve starověkém Egyptě a dosáhla vysoké úrovně vývoje. Slavný filozof Plato založil Akademii, kde byla věnována velká pozornost systémovému učení stávajících znalostí. Kužel jako jeden z geometrické tvary nejprve zmínil se ve slavném pojednání Euclid "The Beginning". Euclid se seznámil s pracemi Platóna. Nyní málo lidí ví, že slovo "kužel" v překladu z řečtiny znamená "borový kužel". Řecký matematik Euclid, který žil v Alexandrii, je považován za zakladatele geometrické algebry. Starověcí Řekové se nejen stali nástupci znalostí Egypťanů, ale také velmi rozšířili teorii.

Historie definice kužele

Geometrie jako věda vyplynula z praktických požadavků na stavbu a pozorování přírody. Postupně byly experimentální znalosti zobecněny a vlastnosti některých těl byly prokázány jinými. Starověcí Řekové představili pojem axiomy a důkazy. Axiom je prohlášení získané praktickým způsobem a nevyžadující důkaz.

Ve své knize Euclid citoval definici kužele jako postavy, která se získá otočením pravoúhlého trojúhelníku kolem jedné nohy. Vlastní také hlavní teorém, který určuje objem kužele. A tato věta byla dokázána starověkým řeckým matematikem Eudoxusem z Cnidus.

Další matematik starověkého Řecka, Apollonius z Perga, který byl studentem Euclidu, vyvinul a vysvětlil teorii kuželových ploch ve svých knihách. Patří k definici kuželovitého povrchu a k němu dochází. Školáci naší dnešní studie Euclidean geometrie, která zachovala hlavní věty a definice od dávných dob.

Základní definice

Rovný kruhový kužel je tvořen otočením pravého trojúhelníku kolem jedné nohy. Jak je vidět, koncept kužele se od doby Euclidu nezměnil.

Hypotenusa AS pravý trojúhelník AOS, když rotuje kolem nohy operačního systému, tvoří boční povrch kužele, proto se nazývá generatrix. Noha operačního trojúhelníku se současně mění na výšku kužele a jeho osy. Bod S se stává vrcholem kužele. Catet AO, popisující kružnici (základnu), se změnil na poloměr kužele.

Pokud je rovina vytahována zhora přes vrchol a osu kužele, pak vidíte, že výsledná axiální sekce je rovnoměrný trojúhelník, ve kterém je osa výšky trojúhelníku.

Také je často nutné vypočítat boční plochu otáčejícího se tělesa. Plocha bočního povrchu kužele se rovná poloviční délce základního obvodu a generátoru kužele.

S = C * L / 2 = n * R * L / 2

kde C je základní obvod, l je délka generátoru kužele, R je poloměr základny.

Vzorec pro výpočet objemu kužele

Pro výpočet objemu kužele se používá následující vzorec:

V = S * H ​​/ 3,

kde S je oblast základny kužele. Vzhledem k tomu, že základna je kružnice, její plocha se vypočte takto:

S = nR2.

Z toho vyplývá:

V = n * R ² * H / 3,

kde V je objem kužele;

n je číslo rovno 3,14;

R je poloměr základny odpovídající segmentu AO na obrázku 1;

H - výška se rovná segmentu OS.

Zkrácený objem kužele

K dispozici je rovný kruhový kužel. Pokud je rovina kolmá na výšku, odřízněte horní část, dostanete zkrácený kužel. Jeho dvě základny mají kruhový tvar s poloměry R ₁ a R ₂ .

R1 = A;

R2 = B;

H = H.

Pokud je rovný kužel tvořen otáčením pravého trojúhelníku, pak se zkrácený kužel rotuje. obdélníkový lichoběžník kolem rovné strany.

Objem zkráceného kužele se vypočítá podle následujícího vzorce:

V = n * (R ¹² + R ₂ ² + R ₁ * R ₂ ) * H / 3.

Kužel a jeho část letadlem

Peruální starověký řecký matematik Apollonius z Pergskii patří k teoretické práci "Kuželová sekce". Díky své práci v geometrii se objevily definice křivek: paraboly, elipsy, hyperbola. Zvažte, a tady je kužel.

Vezměte přímý kruhový kužel. Pokud je rovina protínají kolmo k ose, pak se v řezu vytvoří kruh. Když sekundu přechází kužel pod úhlem k ose, získá se elipsa v řezu.

Sekundární rovina kolmá k základně a rovnoběžná s osou kužele vytváří hyperbola na povrchu. Rovina, která řeže kužel pod úhlem k základně a je rovnoběžná s dotyčnicí ku kuželu, vytváří křivku na povrchu, která se nazývá parabola.

Řešení problémů

Dokonce i jednoduchá úloha, jak vytvořit kbelík s určitým objemem, vyžaduje znalosti. Například je třeba vypočítat velikost lopaty tak, aby měla objem 10 litrů.

Vzhledem k tomu,

V = 10 l = 10 dm ³ ;

Rl = 15 cm;

R2 = 25 cm.

Knoflík kužele má tvar znázorněný schematicky na obrázku 3.

L - tvořící kužel.

Chcete-li zjistit plochu koše, která je vypočtena podle následujícího vzorce:

S = n * (R1 + R2) * L,

je nutné vypočítat generátor. Najdeme ji z objemu V = n * (R ₁ ² + R ₂ ² + R ₁ * R ₂ ) * H / 3.

Z tohoto důvodu je H = 3V / n * (R12 + R2.2 + R1 * R2).

Zkrácený kužel je tvořen otočením pravoúhlého lichoběžníku, ve kterém boční strana vytváří kužel.

L ² = (R _2- R ₁ ) ² + H ² .

Nyní máme všechna data pro vytvoření výkresového kbelíku.

Proč jsou ohničky tvarované jako kužel?

Kdo si myslel, proč mají kbelíky oheň zdánlivě podivný kuželovitý tvar? A to není jenom. Ukazuje se, že kuželová nádoba k hašení ohně má mnoho výhod oproti konvenčnímu kuželovitému tvaru.

Za prvé, jak se ukázalo, požární vědro je naplněno vodou rychleji a při přepravě se nerozkládá. Kónus, který je větší než běžný kbelík, umožňuje větší přenos vody.

Za druhé, voda z ní může být vyhozena větší vzdáleností než z běžného kbelíku.

Zatřetí, pokud se kuželovitý kbelík uvolní z rukou a spadne do ohně, veškerá voda se nalije na zdroj požáru.

Všechny tyto faktory mohou ušetřit čas - hlavní faktor při hašení požáru.

Praktická aplikace

Školáci často mají otázku, proč by se měli naučit vypočítat objem různých geometrických těles včetně kužele.

A konstruktéři jsou neustále konfrontováni s potřebou vypočítat objem kuželovitých částí součástí mechanismů. Jedná se o špičky vrtáků, části soustružnických a frézovacích strojů. Tvar kužele umožní, aby se vrtáky snadno dostaly do materiálu, aniž by musely být použity speciální nástroje.

Objem kužele má hromadu písku nebo země, nalije se na zem. V případě potřeby můžete pomocí jednoduchých měření vypočítat jeho objem. Někteří budou zmaten otázkou, jak zjistit poloměr a výšku hromady písku. Vyzbrojené měřítkem měříme obvod výběhu C. Vzorec R = C / 2n se dozvídáme o poloměru. Házením lana (pásky) přes vrchol nalezneme délku generátoru. A vypočítat výšku Pythagorovy věty a objem není obtížný. Samozřejmě, takovýto výpočet je přibližný, ale umožňuje určit, jestli jste neklamali tím, že jste namísto krychle přinesli tunu písku.

Některé budovy mají tvar zkráceného kužele. Například televizní věž Ostankino se blíží tvaru kužele. Může být zastoupen jako sestávající ze dvou kuželů umístěných na sobě. Klenby starobylých hradů a katedrál jsou kužel, jehož počty starověkých architektů vypočítají s úžasnou přesností.

Pokud se podíváte pozorně na okolní objekty, mnohé z nich jsou kužely:

• lahve na nalévání tekutin;
• houkačkový reproduktor;
• parkovací kuželky;
• stínítko pro stojací lampu;
• známý vánoční strom;
• větrné nástroje.

Jak je patrné z výše uvedených příkladů, schopnost vypočítat objem kužele, plocha jeho povrchu je nezbytná v profesionálním a každodenním životě. Doufáme, že článek vám pomůže.