Vieta věta: příklady jeho použití při práci s kvadratickou rovnicí
Při studiu metod řešení rovnic druhého řádu ve školním kurzu algebry zvažte vlastnosti získaných kořenů. V současné době jsou známé jako věta Viet. Příklady použití jsou uvedeny v tomto článku.
Kvadratická rovnice
Druhá rovnice rovnice je rovnice, která je zobrazena na fotografii níže.
Zde symboly a, b, c jsou některé čísla, která se nazývají koeficienty příslušné rovnice. Pro vyřešení rovnosti je nutné najít hodnoty x, které ji činí pravdivé.
Všimněte si, že jelikož maximální hodnota stupně, na kterou je X zvýšena, se rovná dvěma, pak se počet kořenů v obecném případě také rovná dvěma.
Existuje několik způsobů, jak vyřešit tento typ rovnosti. V tomto článku uvažujeme o jednom z nich, který zahrnuje použití tzv. Viet věty.
Formulace větové věty
Na konci 16. století poznamenal slavný matematik Francois Vietta (Francouz), který analyzoval vlastnosti kořenů různých kvadratických rovnic, že určité kombinace splňují specifické vztahy. Zejména tyto kombinace jsou jejich výrobkem a součtem.
Vieta věta stanoví následující: kořeny kvadratické rovnice s jejich součtem udávají poměr lineárních k kvadratickým koeficientům vzatým s opačným znaménkem a když jsou produkováni, vedou k poměru volné termíny k kvadratickému koeficientu.
Je-li obecná forma rovnice napsána tak, jak je uvedena na fotografii v předchozí části článku, matematicky lze tuto větu napsat ve formě dvou rovnic:
- r 2 + r 1 = -b / a;
- r 1 x r 2 = c / a.
Kde r 1 , r 2 je hodnota kořenů dané rovnice.
Tyto dvě rovnice mohou být použity k řešení řady velmi odlišných matematických problémů. Použití věty Viet v příkladech s řešením je uvedeno v následujících částech článku.
Problém číslo 1: obnovení rovnice
Představujeme následující problém při použití větové věty. Příklad rovnice je uveden takto: -3.4 * x - 3 * s * x 2 + k = 0. Musíte najít hodnoty s a k, vědět, že dvě čísla jsou řešení této rovnice: -1,2 a 4.
Nejprve je třeba rozhodnout o hodnotě koeficientů v tomto výrazu. Z toho vyplývá, že a = -3 * s, b = -3,4 a c = k.
Nyní můžete použít větu Viet. Pro součet kořenů získáváme následující rovnost: -1.2 + 4 = - (- 3.4) / (-3 * s), odkud dostaneme s = -0.40476 (pro výpočet tohoto výrazu se doporučuje použít kalkulačku). To znamená, že a = -3 * s = 1,21429. K produkci kořenů máme:
(-1,2) * 4 = k / 1,21429, kde k = -5,82859.
Rekonstruovaná rovnice bude odpovídat tvaru: -3,4 * x + 1,21429 * x 2 - 5,82859 = 0. Chcete-li zkontrolovat, zda je problém vyřešen správně a zda se při jeho řešení vyskytne chyba, je nutné v obnoveném výrazu nahradit známé kořenové hodnoty. Získáváme: -3,4 * (-1,2) + 1,21429 * (-1,2) 2 - 5,82859 = 0,00001 ≈ 0 a -3,4 * (4) + 1,21429 * ( 4) 2 - 5.82859 = 0.00005 ≈ 0.
Jak vidíme, získané rovnosti jsou skutečně uspokojeny. Malá chyba je způsobena skutečností, že při obnově rovnice jsme výsledná čísla zaokrouhlila na pět desetinných míst.
Problém číslo 2: najít kořeny rovnice
Řešení kvadratických rovnic větovou větou (viz příklad níže) je možné ve všech případech. To znamená, že tato metoda není univerzální, protože pokud se koeficienty rovnice ukáží jako "nepohodlné", pak to nebude fungovat.
Univerzálními metodami pro řešení tohoto typu výrazu je použití diskriminace nebo doplnění na celé čtverec. Nicméně, důležitost věty Viet je v tomto případě, že umožňuje hádání neznámých kořenů bez provedení složitých matematických výpočtů.
Například je uveden následující výraz: -x 2 + 2 * x + 3 = 0. Měli bychom použít větu Vieta k nalezení řešení této rovnosti. Nechť její kořeny jsou čísla r 1 a r 2 . Pak můžete napsat následující systém rovnic:
r 1 + r 2 = -2 / (- 1) = 2;
r 1 * r 2 = 3 / (-1) = -3.
Nyní je nutné odhadnout, která součet čísel je dva a jejich produkt bude -3. Samozřejmě jsou to čísla 3 a -1. Budou kořeny rovnice.
Pokud se poněkud ponoříme do tohoto tématu, je třeba poznamenat, že jakákoliv rovnice druhého řádu, která je snadno reprezentována jako produkt dvou faktorů, lze vyřešit pomocí diskutované věty. V tomto případě můžeme napsat (3-x) * (x + 1), pokud rozšiřujeme závorky, získáme původní výraz.
Problém číslo 3: součet čtverců
Dal další příklad větové věty s řešením. Vzhledem k rovnici:
6 * x 2 - 13 * x + 11 = 0. Je třeba najít součet čtverců jeho dvou kořenů, to znamená (r 1 ) 2 + (r 2 ) 2 .
Samozřejmě můžete tuto rovnici nejprve vyřešit jedním ze způsobů a pak odpovědět na otázku problému. Nicméně, pokud si vzpomínáme na Viet větu a vlastnost sumového čtverce, pak to není potřeba.
Mělo by se pamatovat na to, jak se vypočítá součet dvou čísel čtverečních. Pak zjistíme, že k nalezení neznámého součtu čtverců je nutné vypočítat hodnotu výrazu (r 1 + r 2 ) 2 - 2 * r 1 * r 2 . Používáme obě rovnoprávnosti zvažované věty, získáme: (13/6) 2 - 2 * 11/6 = 1,02 (7) (7 v období).
Použitím větové věty jsme ušetřili čas na řešení rovnice. Vlastnosti kořenů lze obecně použít pro všechny úkoly, které zahrnují výpočet jejich různých kombinací.