Co je kužel v geometrii? Definice, vzorce, vzorek problém
Znalost vlastností geometrických tvarů umožňuje nejen řešit teoretické problémy, ale také provádět různé prakticky důležité výpočty. Jedna z takových čísel, jejichž vlastnosti budou popsány v tomto článku, je kužel. Co je kužel, jaké jsou to, jak najít jeho oblast a objem? Všechny tyto otázky jsou podrobněji popsány níže.
Obecná definice kužele v geometrii
Stereometrie, která zkoumá charakteristiky obrazů v trojrozměrném prostoru, nabízí následující odpověď na otázku, co je kužel: toto je postava, jejíž povrch je tvořen sadou lineárních segmentů spojujících určitý bod v prostoru s určitou křivkou v rovině.
Označený bod prostoru se nazývá vrchol kužele, rovné segmenty jsou generáty postavy nebo jejích generátorů a samotná křivka v rovině je přímá.
Podle výše uvedené definice je vhodná celá skupina čísel, z nichž nejznámější jsou kulaté, eliptické, parabolické a hyperbolické kužely. Eliptický obrázek je zobrazen níže.
Directrix tohoto kužele je uzavřená elipsa, která ohraničuje základ tvaru. Generátory nějakého kužele dohromady tvoří kuželovitý povrch, který se nazývá laterální. Tyto dva povrchy (základna a boční strana) omezují prostorový objem, který se obvykle nazývá objem kužele.
Kulatý přímý kužel - rotační postava
Eliptický kužel, znázorněný na obrázku výše, nemůže být dosažen v důsledku otáčení plochého obrázku. Jediný zástupce třídy kužele, který může být tvořen rotací, je kulatý přímý kužel. Toto číslo je uvedeno níže.
Je zřejmé, že jeho základna představuje ideální kruh. Navíc jakýkoli úsek bočního povrchu s rovinou rovnoběžnou se základnou bude také kruhem, ale s menším průměrem než je číslo na základně.
Oranžový trojúhelník ABC, vybraný uvnitř kužele, je obdélníkový. Je vidět, že jeho noha AC je poloměr r. Noha AB je výška obrázku h. Při konstrukci je zřejmé, že výška je délka kolmice vyvedená z horní části obrázku B do roviny základny (kružnice). Tato výška protíná kružnici uprostřed. To znamená, že kužel je rovný. Nakonec, hypotenze trojúhelníku BC není nic jiného než generátor kužele.
K vytvoření kužele pomocí popsaného trojúhelníku je nutné jej otočit kolem strany AB.
Pro vizuální znázornění rozdílu mezi rovnými a šikmými kužely uvedeme odpovídající obrázek.
Rozdíl mezi těmito dvěma čísly je zřejmý: jestliže jsou jejich základy stejné, pak se výšky snížené z vrcholu přesahují základny v různých bodech. První postava je rovná, druhá je šikmá.
Lineární parametry kruhového přímého kužele a úhlu na základně
Tyto parametry již byly uvedeny výše. Seznamte je znovu:
- poloměr r;
- výška h;
- generatrix g.
Pro jednoznačnou definici kužele jsou tyto tři parametry nadbytečné, to znamená, že daný údaj může být sestaven a všechny jeho vlastnosti mohou být vypočítány, protože jsou známy pouze dva ze tří jmenovaných parametrů. Na základě předpokládaného schématu pro získání kužele otočením pravoúhlého trojúhelníku můžeme napsat následující vztah mezi generátorem, poloměrem a výškou kužele:
g = √ (r2 + h2).
Tato rovnost je zřejmá a nevyžaduje důkaz (nezapomeňte na Pythagorovu větu).
Kužel můžete nastavit nejen pomocí lineárních segmentů r, h a g, ale také pomocí úhlu mezi některým z generátorů tvarů a základní rovinou. Označte tento úhel písmenem φ. Pomocí definice trigonometrických funkcí můžeme napsat řadu vzorců, ve kterých úhel φ spojuje lineární parametry. Napsali jsme ty hlavní:
g = h / sin (φ);
g = r / cos (φ);
h = r * tg (φ).
Plocha obrázku
Vzhledem k otázce, co je to kužel, předkládáme vzorec pro určení oblasti jejího plného povrchu. Aby bylo jasnější, co bude řečeno, přineseme sken do roviny dotyčného čísla.
Vývoj kužele v rovině se skládá ze dvou čísel. Kruh je základem kužele, kruhový sektor o poloměru g je boční plocha. Kruhový sektor se snadno získá, pokud si vezmete kuželovou plochu papíru a řežete ho podél libovolné generace. Rozšiřováním tohoto povrchu získáváme požadovaný sektor.
Určení oblasti S o kruh není problém. Odpovídající výraz je uveden níže:
S o = pi * r 2.
Pokud jde o kruhový sektor, jsou také známy jeho potřebné parametry pro výpočet oblasti Sb: poloměr g a délka oblouku odpovídající obvodu kruhu, který byl zvážen výše. Vzorec pro výpočet plochy bočního povrchu kužele S b je:
Sb = pi * r * g.
Celková plocha čísla se tedy rovná:
S = S0 + Sb = pi * r * (r + g).
Formula pro hlasitost
Vědět, co je kužel rovný, je snadné psát vzorec pro jeho objem. Vzhledem k tomu, že dané číslo může být považováno za pyramidu s nekonečným množstvím bočních hran, pak pro ni, stejně jako pro kteroukoli pyramidu, lze vypočítat objem podle vzorce:
V = 1/3 * S o * h.
Hodnota čtverce S o jsme již uvedli výše, proto požadovaný vzorec pro objem přímého kužele s kulatou základnou bude následující:
V = 1/3 * pi * r2 * h.
Řešení geometrického problému
Je známo, že hodnota plochy povrchu kužele kruhového průřezu je 300 cm2. Je nutné stanovit poloměr kužele, protože je známo, že její generátor je 15 cm.
Napíšeme rovnost pro oblast a nahradíme hodnotu g = 15 cm a S = 300 cm², dostaneme:
S = pi * r * (r + g) =>
300 = pi * r2 + 15 * pi * r.
Rozdělíme levou a pravou stranu na číslo pi, získáme následující kvadratickou rovnici:
r2 + 15 * r - 95,54 = 0.
Tuto rovnici řešíme skrze diskriminující, dostaneme:
D = 15 2 - 4 * (- 95,54) = 607,16;
r = (-15 ± √D) / 2 = (4,82; -19,82).
Záporný kořen neodpovídá stavu problému, takže můžete napsat odpověď: daný kužel má poloměr 4,82 cm.