Produkční funkce Cobb-Douglas: příklady řešení

Produkce je vlastně proces obrábění jednoho výrobku do druhého. V procesu, který ze všeho jednoduchého se ukáže něco složitějšího ve své podstatě. Výrobní funkce Cobb-Douglas, jako každý jiný, odráží stávající vztah mezi výsledkem a kombinací faktorů, které byly použity k jeho dosažení. Rozdíly mezi různými modely jsou v hloubce jejich pokrytí skutečnou situací. Nejjednodušší je lineární, což odráží vztah mezi počtem zaměstnanců a skutečným výstupem. Produkční model Cobb-Douglas považuje nejen práci za zdroj pro získání výsledků, ale také za kapitál. Nejsložitější jsou moderní multifaktorové modely. Zahrnují půdu, podnikatelské dovednosti a dokonce i informace.

Produkce jako proces

Výroba je v podstatě transformací různých hmotných a nehmotných investic (plánů, know-how) pro tvorbu položek určených ke spotřebě. Jedná se o proces vytváření produktu nebo služby, které jsou prospěšné jednotlivcům. Růst výroby znamená zlepšení ekonomického blahobytu. To je způsobeno skutečností, že všechny produkty jsou přímo nebo nepřímo používány k uspokojení lidských potřeb. A ty, jak víte, jsou nekonečné. Proto je ekonomické blaho státu často posuzováno stupněm uspokojení potřeb jeho občanů. Jeho zvýšení je dáno dvěma faktory: zlepšením poměru kvality a ceny dostupných produktů a zvýšením kupní síly lidí prostřednictvím efektivnější tržní výroby.

Zdroj hospodářského blahobytu

Zejména v ekonomice existují pouze dva procesy: výroba a spotřeba. A stejné typy herců. Výrobci vyrábějí výrobky, které uspokojují potřeby spotřebitelů. Hospodářská pohoda se tudíž skládá ze dvou složek. První je efektivní výroba, druhá je interakce mezi faktory. Prosperita spotřebitelů závisí na produktech, které si mohou dovolit, a na výrobcích - na příjmech, které dostávají jako náhradu za svou práci, a na materiálních a finančních zdrojích investovaných do výrobního procesu. nehmotný majetek.

Proces vytváření produktu

Každá společnost se v průběhu své práce zabývá různými jednotlivými akcemi. Pro zjednodušení pochopení výroby je však obvyklé vymezit pět hlavních procesů, z nichž každá má vlastní logiku, cíle, teorii a klíčové postavy. A je důležité je studovat nejen jako celek, ale i samostatně. V průběhu výroby se tedy rozlišují následující procesy:

• Real.
• Proces rozdělování příjmů.
• Výroba.
• Peněžní.
• Proces určování tržní hodnoty.

Ekonomická definice

Funkce produkce je vztah mezi uvolněním a kombinací faktorů používaných k jeho implementaci. Hlavní je práce. Jednoduchý lineární model to jen zvažuje. Funkce produkce Cobb-Douglas, jejíž příklad bude popsán níže, bere v úvahu nejen výrobní proces, ale také kapitál jako faktor. Jiné modely navíc berou v úvahu půdu (P) a podnikatelskou schopnost (H). Produkce je tedy funkcí kombinace těchto indikátorů nebo Q = f (K, L, P, H). Každá odvětví ekonomiky nebo dokonce samostatný podnik má své vlastní charakteristiky. Proto mohou výrobní funkce přicházet s nekonečným počtem.

Jednoduchý lineární model

Funkce produkce Cobb-Douglas zohledňuje dva faktory, jak je obvyklé v neoklasicistických teoriích. Nicméně je mnohem jednodušší uvažovat pouze o jednom. Teorie absolutních výhod Adama Smitha, se kterými se celá moderní ekonomika skutečně začala, vycházela pouze z práce jako výrobního faktoru. Nezůstávejte z tohoto předpokladu a David Ricardo. A až v 60. letech minulého století švédští ekonomové Eli Heckscher a Bertil Olin využili svobody, aby začali zvažovat jiný faktor - kapitál. Nejjednodušší výrobní model je lineární. Popisuje vztah mezi množstvím práce a výstupem. Její rovnice zahrnuje pouze jednu nezávislou proměnnou. Lineární výrobní funkce má tedy následující formu: Q = a * L, kde Q je objem výstupu, a je parametr, L je počet zaměstnanců používaných ve výrobě. Zvažte zvláštní příklad. Jeden pracovník může vyrobit 10 židlí za den. V tomto případě bude mít rovnice následující tvar: Q = 10 * L.

Zákon o omezení zpětného vychýlení

Pokračujte ve zvážení výše uvedeného příkladu. Lineární funkce znamená, že zvýšení počtu pracovníků vede vždy ke zvýšení produkce. Jeden z mistrů může vyrobit 10 židlí denně, pět - 50, sto - 1000. Ve skutečnosti je však všechno trochu komplikovanější. V takových modelech je třeba brát v úvahu fixní kapitálové fondy a snížení výnosů. Proto se v rovnici objeví další parametr b. Leží mezi nulou a jednou, což vyplývá z její ekonomické podstaty. Nyní může být vztah mezi objemem výstupu a počtem zaměstnanců popsán následovně: Q = a * L ^b . Rovnice z předchozího příkladu ve skutečnosti vypadá takto: Q = 10 * L ^0.5 . A to znamená, že jeden pracovník vyrábí 10 židlí a pět není vůbec 50, ale pouze 22. Sto řemeslníků může vlastně dělat ne tisíc výrobků, ale jen sto. A to je zákon, který snižuje výnosy v akci.

Multifaktorové modely

Produkční funkce Cobb-Douglas je: Q = a * L ^b * K ^c . Jak vyplývá z vzorce, již se zabýváme třemi parametry (a, b, c) a dvěma faktory (L, K). Zohledňuje to nejen pracovní síly (počet zaměstnanců), ale také kapitál (počet dostupných pil). Parametry funkce produkce Cobb-Douglas závisí nejen na sektoru ekonomiky, ale také na technologii používaném v jednotlivých podnicích. Nesmíme zapomínat na to, jak zákon o snížených výnosech z jakéhokoli použitého faktoru působí. Naše rovnice z výše uvedeného příkladu lze rozšířit následovně: Q = 10 * L ^0,5 * K. Produkční funkce Cobb-Douglase se používá nejčastěji v moderních neoklasicistických teoriích pro svou relativní jednoduchost a blízkost k realitě. Složitější modely se začínají rozšiřovat.

Pevné proporce

Předpokládejme, že jediný způsob, jak vyrobit židli, je dát každému pracovníkovi pily. Další nástroje v tomto případě jsou prostě k ničemu. To znamená, že uvolnění produktu znamená určitý poměr kapitálu a pracovních zdrojů. V tomto případě je objem výroby určen "slabým spojem". V tomto případě si ekonomové vynalezli zvláštní funkci. Má následující formu: min {L, K}. Pokud chcete vytvořit židli, potřebujete dva pracovníky a jeden viděl, pak min {2L, K}.

Ideální náhražky

Pokud jeden faktor může být nahrazen jiným faktorem, pak to bude mít vliv na vzhled výrobní funkce. Předpokládejme například, že roboty mohou být použity namísto tesařů. Vzorec z příkladu pak vypadá takto: Q = 10 * L + 10 * R. Nebo obecně: Q = a * L + d * R, kde a, d jsou parametry a L a R jsou počet tesařů a robotů. Pokud jsou stroje desetkrát rychlejší než pracovníci, vzorec bude vypadat takto: Q = 10 * L + 100 * R.

Produkční funkce Cobb-Douglas: vlastnosti

Začneme uvažovat o nejoblíbenějším neoklasickém modelu se svými hlavními rysy:

1. Výrobní funkce společnosti Cobb-Douglas zohledňují dva faktory: práce a kapitál.

2. Pozitivní snížení marginálního produktu.

3. Trvalá elasticita uvolňování, rovnající se b pro L a c pro K.

4. Produkční funkce Cobb-Douglas má tvar: Q = a * L ^b * K ^c .

5. Stálý efekt stupnice se rovná součtu b a c.

Historické informace

Základem jakékoli ekonomické teorie jsou výrobní faktory. Produkční funkce Cobb-Douglas se zabývá dvěma ze čtyř hlavních: práce a kapitálu. Dnes, pro každou společnost, můžete přijít s jejími jednotlivými příklady. Rozhodnutí o produkčních funkcích Cobb-Douglase se nestalo bez práce Knat Vixella (1851-1926). Byl to ten, kdo nejprve vybudoval tento model. Charles Cobb a Paul Douglas, jejichž jména byla později jmenována, testovala pouze v praxi. V roce 1928 byla vydána jejich kniha, která popisovala americký ekonomický růst v letech 1899-1922. Vědci to vysvětlovali pomocí dvou faktorů: využívaných pracovních zdrojů a investovaného kapitálu. Samozřejmě, že hospodářský růst je ovlivněn mnoha dalšími parametry, ale statistiky prokázaly, že tyto dva jsou rozhodující, které Knatne Wicksell vytyčil.

Podle Pavla Douglase se první formulace této funkce objevila v roce 1927. V této době se snažil odvodit matematický výraz spojení mezi dělníky a kapitálem. Obrátil se ke svému kolegovi Charlesovi Cobbovi. Ta se podařilo odvodit moderní rovnici, která, jak se ukázalo, používala v jeho dílech Knut Wicksell. Při použití metody nejmenších čtverců byli vědci schopni zobrazit pracovní exponent (0,75). Jeho hodnota byla potvrzena Národním úřadem pro ekonomický výzkum. Ve 40. letech minulého století se vědci přestěhovali z konstant a deklarovali, že se exponenty mohou časem měnit.

Předpoklady modelu

Pokud je výstup odvozen ze dvou faktorů (práce a kapitálu), pak pružnost celé funkce bude záviset na marginální produktivitě každého z nich. Cobb a Douglas tak vytvořili svůj model na následujících předpokladech:

• Produkce nemůže pokračovat bez přítomnosti jednoho z faktorů. Práce a kapitál nejsou náhradami, které se mohou nahradit v procesu propouštění. Přídavné pily nemohou vytvořit židle bez účasti tesařů.
• Okrajová produktivita každého z faktorů je úměrná objemu výstupu na jednotku.

Elasticita uvolnění

Je zřejmé, že snížení objemu použitých materiálů vede ke snížení objemu výrobků. Produkční funkce Cobb-Douglas se zabývá okrajovým uvolněním. Elasticita v ekonomice je procentní změna hodnoty jednoho ukazatele v reakci na pokles nebo nárůst v jiném s ním spojeným. Funkce produkce Cobb-Douglas naznačuje, že b a c jsou konstanty. Pokud b je 0,2 a počet pracovníků se zvýší o 10%, pak se produkce zvýší o 2%.

Efekt měřítka

Aby se skutečně zvýšil objem výroby, musí se objem použitých výrobních faktorů proporcionálně zvýšit. Pokud tomu tak je, pak říkáme, že používáme efektu. Produkční funkce Cobb-Douglas, jejíž vlastnosti jsme již uvažovali, jej bere v úvahu. Pokud b + c = 1, znamená to, že se jedná o konstantní efekt stupnice,> 1 - zvyšující se, <1 - klesající.

Časový faktor

Produkční funkční model Cobb-Douglas se často používá k popisu střednědobého až dlouhodobého vývoje. Je zřejmé, že je často snadnější najat nové lidi, než zvýšit objem kapitálových zdrojů. Někteří ekonomové proto tvrdí, že jednoduchý lineární model je nejlépe vhodný pro popis krátkých časových období podniku. Společnost vlastní určitou velikost místnosti, omezený počet strojů, které lze změnit pouze dlouhodobým plánováním. Časové období, které je k tomu zapotřebí, se může lišit od jednoho podniku k jinému, stejně jako elasticita výrobní funkce Cobb-Douglas.

Problémy s aplikací

Navzdory skutečnosti, že dvoufaktorová produkční funkce se rozšířila a byla statisticky testována Cobbem a Douglasem, někteří ekonomové pochybují o své přesnosti v různých odvětvích a časových obdobích. Hlavním předpokladem tohoto modelu je stálost elasticity práce a kapitálu ve vyspělých zemích. Je to však skutečně ten případ? Ani Cobb, ani Douglas neposkytli teoretické zázemí pro svou existenci. Stálost koeficientů b a c výrazně zjednodušuje výpočty, a to je vše. Zároveň vědci nepochopili nic o inženýrství, technologii a řízení výrobního procesu. Navíc možnost jeho použití na mikroúrovni nevypovídá o jeho korektnosti v makroekonomických podmínkách a naopak.

Kritika sledovala produkční funkci Cobb-Douglase od svého založení v roce 1928. Zpočátku bylo pro vědce tolik frustrující, že chtěli přestat pracovat na tom. Ale pak se rozhodli pokračovat. V roce 1947 Douglas přišla s novými potvrzeními o její správnosti jako prezidenta Americké hospodářské asociace. Vědec nebyl schopen pokračovat v práci kvůli zdravotním problémům. V budoucnu byla výrobní funkce vylepšena Paulem Samuelsonem a Robertem Solowem a navždy se mění myšlenky o studiu makroekonomie.

Dnes je výrobní funkce Cobb-Douglas jedním z nejdůležitějších konceptů. Popisuje vztah mezi vnořenými faktory a výsledkem. Na rozdíl od jednoduchých lineárních modelů, které jsou vhodné pouze pro popis krátkého období života společnosti, lze je použít pro dlouhodobé plánování. Nesmíme však zapomenout na řadu předpokladů a problémů, s nimiž jsou jeho aplikace spojeny.