Geometrická progrese, její aplikace při řešení problémů

Starověký indický král rozhodl se velkoryse odměnit vynálezce šachu: "Zeptejte se mě, co chcete pro takovou moudrou hru." Skromná odpověď překvapila vládce, když mudrc požádal o zrno pšenice, jak by se hodil na 64 buněk šachovnice. Řekl: "Vložte jedno zrno na první buňku, 2 na druhou, 4 na třetí, pak na 8, 16, 32, ...". Počet zrn se musel pokaždé zdvojnásobit. Výsledkem bylo počítání krále. Zrna měla 230,584,300,921,369 liber. Ukazuje se, že geometrický postup byl získán z této série čísel. Součtem jeho členů je tak velké množství, že se zrna počítaly mnohokrát víc než celá pšeničná plodina.

Sekvence čísel

V něm je každé další číslo, počínaje druhým, získáno vynásobením předchozího číslem konstantním číslem q (const) nazývaným jmenovatelem. První číslo je ₁ ≠ 0 a q ≠ 0. Můžete to psát takto:
v ₁ ; v ₂ = v ₁ q; v ₃ = ve ₂ q; ...; v _n = v _n-1 q q.
V našem příkladu {in _n } čísla rostou velmi rychle. Toto je zvětšující se geometrický postup, jelikož pozitivní jmenovatel je q> 1 a v ₁ > 0. Pokud | q | <1, postup se snižuje, přičemž q <0 - střídá se. Zde je vzorec pro každého člena takové sekvence:
v _n = v ₁ q q ^n-1 .
Navrhovaný problém zrna je řešen dobře známým vzorcem součtu n-prvních členů rostoucí geometrické progrese
S = (a ₁ -a _p q): (1-q) za předpokladu, že q ≠ 1.
Chcete-li vyřešit mnoho dalších problémů, je důležité znát charakteristickou vlastnost postupu. Jakýkoli termín ve čtverci (kromě prvního) se rovná součtu výrazů, které jsou od něj rovnoměrně rozloženy,
v _n ² = v nk ∙ v _{n + k} , kde 1 ≤ k <n, n ≥ 2.

Nekonečná geometrická progrese

Je to řada čísel, jelikož n má tendenci k ∞. Příkladem by byla posloupnost čtverců čtverců, která jsou získána následovně. Připojíme středy stran této jednotky, pak také spojujeme středy stran nových stran, pokračujeme v tomto procesu nekonečně {1, ½, ¼, 1/8, ...}. První termín postupu 1, jmenovatel ½. Klesající geometrický postup se nazývá nekonečný, pokud jeho jmenovatel patří do otevřeného segmentu (0, 1). Pokud zvážíme segment (-1, 1), pak musíme hovořit o sbližující se a odchylnou posloupnost čísel. Při řešení aplikovaných problémů je užitečné znát jednoduchý vzorec pro součet členů nekonečně klesající geometrické progrese.
S = v ₁ / (1-q).

Příklady úkolů pomocí geometrického postupu

1. Napište periodickou frakci 0, (13) ve formě racionálního čísla (obyčejná frakce).
   Představte si desetinnou frakci jako součet:
   0.131313 ... = 13/100 + 13/10000 + 13/1000000 + ...
   Je zřejmé, že v ₁ = 13/100 vypočítáme q: 13/10000 a dělíme se 13/100,
   dostaneme q = 1/100. Navrhovaná částka je podle vzorce snadná
   S = (13/100) / (1- (1/100)) = (13/100) (100/99) = 13/99 - toto je reprezentace desetinné frakce ve formě obyčejné.
   
2. V nekonečně klesajícím pokroku je známý 2. termín a ₂ = 21 a součet S = 112. Je nutné najít jeho 1. člen. Při řešení použijeme vzorce součtu nekonečného geometrického a druhého termínu postupu, získáme systém dvou rovnic se dvěma neznámymi.
   První rovnice tohoto systému je 112 = a ₁ / (1-q) a ₁ = 21 / q je druhá.
   Po vyřešení to máme kvadratická rovnice ohledně q.
   112q ² -112q + 21 = 0, zjednodušit 16q ² -16q + 3 = 0.
   Jako výsledek, 2 kořeny q ₁ = ¾, q ₂ = ¼. První člen
   a ₁ = 21 / (3/4) a první termín a ₁ = 21 / (1/4).
   Náš úkol má 2 řešení: a ₁ = 28 a ₁ = 84.

Závěr

Geometrická progrese je široce používána při řešení mnoha problémů při hledání čísla daného člena sekvence, jejího jmenovatele, za předpokladu, že dva sousední členy nejsou specifikovány. Existují zajímavé problémy, v nichž jsou členové psaní ve formě výrazů s proměnnými.