Číselné systémy: příklady. Překlad číselných systémů

Když mluvíme v nejjednodušším jazyce, číselný systém je způsob reprezentace čísel. Při výpočtu jsme použili metodu výpočtu. 10. Jiné číselné systémy mají například základnu 16 (hexadecimální), 8 (osmičkové) a 2 (binární).

Prehistorické časy

Stejně jako první pokusy o psaní se objevily po vývoji řeči, první pokusy o grafické znázornění čísel se objevily poté, co se lidé naučili počítat. Pravděpodobně nejdřívější způsob, jak počítat, je nějaký systém pro počítání fyzických objektů, jako jsou oblázky nebo tyče. Soudě podle zvyků současných domorodých národů a nejstarších stop písemných nebo sochařských nálezů byly nejprve jednoduché řezy na prknech, škrábance na kameni, značky na keramice apod. Bez pevných jednotek, bez mincí, bez obchodu kromě nejprimitivnějších barterů, bez daňového systému a jiných potřeb než těch, které podporovaly život, lidé nepotřebovali písemná čísla až do začátku takzvaných historických časů.

První metody počítání

Když bylo nutné často počítat s čísly vyššími než 10, mělo by být systematizaci a zjednodušení číslování; toto bylo obvykle provedeno pomocí skupiny nebo skupiny. Ve skutečnosti nejdříve zaznamenané počty byly jednoduché lineární znaky pro malé čísla se speciálním formulářem pro 10. Tyto symboly se objevily v Egyptě již v roce 3400 př.nl a v Mezopotámii už v roce 3000 př.nl, na Krétě (kolem roku 1200 př.nl). AD) a v Indii (asi 300 př.nl).

Samozřejmě, zvláštní místo je obsazeno číslem 10 počtu lidských prstů, což potvrzuje moderní využití tohoto základu nejen v logické struktuře desítkového systému, ale také v jménech čísel v mnoha jazycích.

Rozmanitost metod počítání

Neměli bychom však dospět k závěru, že 10 je buď jediný možný základ, nebo jediný skutečně použitý. Existuje mnoho příkladů číselných systémů. Binární, ve kterém je počítání "jeden, dva, dva a jeden, dva a dva, dva a dva a jeden" atd., Se nachází mezi nejstaršími kmeny Austrálie, v mnoha jazycích národů Torres úžiny a přilehlého pobřeží Nové Guineje některé africké pygmy a různé jihoamerické kmeny. Původní obyvatelé Tierra del Fuego a jižní americký kontinent používají číselné systémy se základnami tři a čtyři. Pátý základní systém je velmi starý, avšak ve své čisté podobě se zdá, že se v současné době používá jen u některých kmenů v Jižní Americe. Na jiných místech je kombinován s desítkovou nebo dvanácti desetinnou soustavou, kde je základna 20. Podobně systém založený na 6 je vzácný v severozápadní Africe a je spojen s duodenálním 12 základním systémem.

V průběhu historického vývoje desetinný systém konečně zastínil všechny ostatní. Přesto existuje ještě mnoho dalších systémů, které se používají hlavně v komerčním a obytném průmyslu. Báze 12 se tedy vyskytuje jako počet centimetrů v nohách, měsících v roce, v uncích v libru a dvakrát po dobu 12 hodin denně, stejně jako v tuctu použitých při výpočtu. Základna 60 se nachází při měření času a úhlů.

Digitální systémy

První primitivní číslice byly |, ||, ||| atd., například v Egyptě a starověkém Řecku nebo -, = ,, atd., stejně jako ve východní Asii. Tato metoda výpočtu odpovídala jednoduchým potřebám lidí. Vzhledem k tomu, že se život stane složitějším, byla zřejmá potřeba počtu skupin čísel a byl to jen malý krok od jednoduchého systému s názvy jen pro jednu a deset pro výskyt dalších speciálních čísel, na základě kterých můžete zjistit, kolik systémů existuje a existuje. Někdy byl tento proces nesystematický. Například Yukaghir ze Sibiře zvažoval "jeden, dva, tři, tři a jeden, pět, dva tři, dva tři a jeden, dva čtyři, deset s jedním chybějící, deset". Pravidelnější systém však obvykle vedl k tomu, že většinu těchto systémů lze klasifikovat, alespoň obecně, v souladu s logickými principy, které jsou základem těchto systémů.

Jednoduché seskupení

Na základě své hodnoty může být číselný systém považován za metodu seskupování čísel. Ve své čisté podobě je jednoduchým seskupovacím systémem přiřazení zvláštních názvů pro malé číslice, základnu b a její síly b2, b3 atd., Do stupně bk dostatečné k reprezentaci všech čísel, která jsou skutečně nezbytná pro použití. Mezipočetní čísla se pak vytvoří přidáním, každý znak se opakuje, kolikrát je požadováno, stejně jako 23 je napsáno - XXIII - v římských číslicích.

Nejrychlejším příkladem tohoto typu číselného systému je vzorek nalezený v egyptských hieroglyfích. To bylo používáno starými Egypťany pro psaní na kameni.

Systémy s pozičními čísly

Patří sem ty, ve kterých pozice (číslice) při psaní čísla určuje jeho hodnotu. Systém desítkových čísel je příkladem polohového systému, ve kterém byly po přijetí základny b přiřazeny zvláštní čísla čísel 1, 2, ..., b-1 a všechna větší čísla jsou zapsána jako sekvence těchto čísel. Jedná se o jediný systém čísel, který lze použít k popisu velkých čísel. Důvodem je to, že každý z ostatních typů poskytuje speciální jména různým číslům větším než b a všechna čísla vyžadují nekonečný počet jmen. Úspěch systému číselných čísel závisí na tom, že pro libovolnou základnu b lze každé číslo N psát jednoznačně ve formě:

N = anbn + a - 1bn - 1 + ⋯ + a1b + a0,

kde a, an - 1, ..., a0 jsou čísla; tj. čísla ze skupiny 0, 1, ..., b - 1. Pak N na základně b může být reprezentován sekvencí anan - 1 ... a1a0 znaků. Tento princip byl použit v multiplikativních seskupovacích systémech. Pozicový systém pochází z násobitele jednoduše vyloučením názvů stupňů b, b2, atd. A je určen v závislosti na poloze čísel pro prezentaci těchto informací. Nicméně je nutné použít nulový znak pro označení chybějícího základního orgánu; jinak, 792 může znamenat například buď 7M9X2 (tj. 7,092) nebo 7C9X2 (792).

Vývoj v různých zemích

Příkladem tohoto typu číselného systému je metoda, kterou vyvinuli Babylonci (přibližně 3000-2000 př.nl). Zde bylo použito číslo 60. Takový systém se nazývá hexadecimální. S tak velkým základem by bylo nepohodlné mít nesouvisející jména pro čísla 0, 1, ..., 59, takže pro tyto čísla byl použit jednoduchý seskupovací systém na dno 10.

Vedle skutečnosti, že tento systém byl těžkopádný kvůli jeho velké základně, babylonský systém utrpěl až velmi pozdě od nepřítomnosti nulové známky.

Během raných expedic do Yucatanu byl objeven další příklad systému Maya. Byl používán hlavně v kalendáři, nikoliv pro komerční nebo jiné výpočty. Byl to dobře vyvinutý polohový systém. Jeho základem bylo číslo 20. Čísla 0, 1, ..., 19, jako v Babylonu, jsou tvořeny jednoduchým seskupením, v tomto případě na základně 5.

Ani mayský, ani babylonský systém nejsou ideální pro aritmetické výpočty, protože čísla méně než 20 nebo 60 nejsou reprezentovány jednotlivými znaky.

Evoluce

Další vývoj této myšlenky souvisí s indiány, kteří jako první použili v moderní podobě nulu. V polohovacích systémech je třeba určitý znak označit místo, kde není základna skutečně nalezena. Hindovi to označili tečkou nebo malým kruhem, který dostal jméno sunya, sanskrtské slovo "prázdné". Pak kolem roku 800 nl toto označení bylo předáno Arabům a v překladu se hodnota nezměnila. Poté byl představen latinskému jazyku (asi 1200), zatímco výslovnost byla zachována, ale hodnota byla ignorována. Následné změny vedly k modernímu označení.

Hindu-arabský systém

Existuje několik různých názorů na původ moderních západních čísel: obvykle mluví o jejich arabském původu, ale je lepší zvažovat hindu-arabštinu. V tomto případě se tvrdí, že jejich původ je spojen s Araby, Peršany, Egypťany a Hindy. Není vyloučeno, že komunikace mezi obchodníky sloužila jako příležitost k přenosu těchto symbolů z jedné země do druhé, takže moderní západní postavy mohou pocházet z různých zdrojů. Nicméně pokud je známo, země, která nejprve použila největší počet těchto číselných formulářů, je Indie. 1, 4 a 6 se nacházejí v nápisu Ashoka (III. Století před naším letopočtem); 2, 4, 6, 7 a 9 se objevují v nápisu Nany Ghat po asi století; a 2, 3, 4, 5, 6, 7 a 9 v jeskyních Nasik 1. nebo 2. století. Všechna tato čísla měla podobu, která je z velké části podobná dnešním.

Výhody, které má perfektní polohovací systém, jsou tak početné a tak zřejmé, že hindsko-arabské číslice a základna 10 byly přijímány téměř všude. Lze říci, že jde o nejbližší přístup k univerzálnímu lidskému jazyku.

Binární systém

Existuje však oblast, ve které není obvyklý desítkový systém nejlepší: počítač. Zde má binární polohový systém více výhod než desetinná místa. V tomto systému určuje základna 2, kolik čísel je v systému binárních čísel: zde jsou pouze dvě číslice - 0 a 1; číslo dvě je zde reprezentováno jako 10, protože hraje stejnou roli jako deset v desítkovém systému.

Binární číslo je obvykle mnohem delší než jeho desetinné číslo; Například 256 058 má binární reprezentaci 111 11010 00001 11010. Binární číslice, jako jednotka v číselném systému, nese méně informací než desetinná místa. Důvodem větší délky binárního čísla je, že binární číslice rozlišuje pouze dvě možnosti: 0 nebo 1, zatímco desetinná místa rozlišují mezi 10 možnostmi.

Octální a hexadecimální číselné systémy

Jejich použití je také spojeno s počítači a programováním.

Starší počítačový číslovací systém je osmičkové číslo, kde je základna číslo 8. Čísla použitá v tomto systému jsou: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 a 7. Hodnota "osm" je zaznamenána jako "1 osm a 0 jednotek" nebo 10. Každá hodnota pozice je osmkrát odlišná od další pozice.

Z technického hlediska existuje tolik různých protokolů počítačového jazyka pro osmičkový systém.

Druhý systém se nazývá hexadecimální, jelikož tento systém má základnu 16. Platné šifry obsahují normální desetinné znaky 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 a šest abecedních znaků A, B, C , D, E a F pro celkem šestnáct. Hodnota každé pozice se liší od předchozího šestnáctkrát.

Oktální a hexadecimální systémy by neměly smysl, kdyby nebylo jejich schopnost snadno převést na binární systém a z něj. Jejich hlavním cílem je sloužit jako "zkrácená" metoda označování čísla reprezentovaného elektronicky v binární formě. Vzhledem k tomu, že základy osmičkových (8) a hexadecimálních (16) systémů jsou rovnoměrné a násobky binárního základu (2), binární bity mohou být seskupeny a čísla v číselných systémech mohou být přímo převedeny na osmičková nebo hexadecimální čísla. Při přepočtu na osmičkový systém jsou binární bity seskupeny do tří (protože 23 = 8) a v hexadecimálním čísle - binární bity jsou seskupeny do čtyř (protože 24 = 16).

Podobně konverze čísel v osmi nebo šestnáctkovém čísle na binární čísla se provádí pomocí každé osmičkové nebo hexadecimální číslice a převede je na ekvivalentní binární (3 nebo 4bitové) skupiny a pak se všechny skupiny bitů kombinují.