Polynomy Faktorizace polynomů: metody, příklady

Koncepty "polynomu" a "rozložení polynomu na faktory" v algebře jsou velmi běžné, protože musí být známy, aby bylo možno snadno provádět výpočty s velkými vícemístnými čísly. Tento článek popisuje několik metod rozkladu. Všechny jsou poměrně jednoduché, stačí zvolit ten správný pro každý konkrétní případ.

Koncepce polynomů

Polynom je součet monomiálů, tj. Výrazů obsahujících pouze násobení.

Například 2 * x * y je monomial, ale 2 * x * y + 25 je polynom, který se skládá ze dvou monomiálů: 2 * x * y a 25. Takové polynomy se nazývají dvou-termínové polynomy.

Někdy pro usnadnění řešení příkladů s vícenásobnými hodnotami musí být výraz transformován například rozložen na řadu faktorů, tj. Čísel nebo výrazů, mezi kterými se provádí násobící akce. Existuje mnoho způsobů, jak rozložit polynom na faktory. Stojí za to zvážit z těch nejprimitivnějších, které se používají v základní škole.

Seskupení (napište obecně)

Vzorec pro rozklad polynomu na faktory ve způsobu seskupení v obecné podobě vypadá takto:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Je nutné seskupit monomialy tak, aby se v každé skupině objevil společný faktor. V prvním odstupu je faktor c, v druhém je d. Musí to být provedeno, aby bylo možné ji vyjmout z držáku, čímž se zjednoduší výpočty.

Rozkladový algoritmus pro konkrétní příklad

Nejjednodušší příklad rozšíření polynomu na faktory metodou seskupení je uveden níže:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

V první skupině je třeba pojmenovat termíny s násobitelem a, který bude běžný a druhý s násobitelem b. Věnujte pozornost značkám + a - v konečném výrazu. Před monomial jsme předvedli znamení, které bylo v počátečním vyjádření. To znamená, že nemusíte pracovat s výrazem 25a, ale s výrazem -25. Znamení "mínus" se zdá být "přilepené" k výrazu, který je za ním, a vždy je při výpočtu zohledňovat.

Dalším krokem je převzít násobič, který je běžný, mimo závorku. To je to, proč se seskupuje. Vyřadit z držáku znamená, že před konzolou vypíšete všechny faktory, které se opakují přesně ve všech termínech, které jsou v závorce. Není-li závorka 2, a 3 podmínky a další, společný faktor musí být obsažen v každém z nich, jinak nemůže být vyjmut z držáku.

V našem případě - v závorkách pouze 2 výrazy. Společný faktor je okamžitě viditelný. V prvním držáku je a, v druhém - b. Zde je třeba věnovat pozornost digitálním koeficientům. V prvním úhlu jsou oba koeficienty (10 a 25) násobky 5. To znamená, že z konzoly může být vyloučeno nejen a, ale také 5a. Před závorami napište 5a a pak rozdělte každý z výrazů v závorkách o společný faktor, který byl vysloven, a také zapište kvocient do závorek, aniž byste zapomněli znaménka + a - Do druhého závorky také vyjměte 7b, stejně jako 14 a 35 násobek 7.

Takže:

10a + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Objevily se 2 termíny: 5a (2c - 5) a 7b (2c - 5). Každý z nich obsahuje společný faktor (celý výraz v závorkách se zde shoduje, což znamená, že je běžným faktorem): 2c - 5. Je třeba také vyřadit z držáku, to znamená, že podmínky v druhém úseku zůstávají 5a a 7b:

5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5a + 7b).

Takže úplný výraz:

10c + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5a + 7b).

Takže polynom 10ac + 14bc - 25a - 35b se rozkládá na 2 faktory: (2c - 5) a (5a + 7b). Nápis násobení mezi nimi lze při psaní vynechat.

Někdy existují výrazy tohoto typu: 5a ² + 50a ³ , zde můžete vynechat nejen a nebo 5a, ale i 5a ² . Vždy byste se měli snažit vzít největší společný faktor z držáku. V našem případě, pokud rozdělíme každý termín na společný faktor, se ukáže:

5a ² / 5a2 = 1; 50a ³ / 5α ² = 10α (při výpočtu kvocientu několika stupňů se stejnými bázemi, báze je zachována a exponent je odečten). Jednotka tedy zůstává v závorkách (v každém případě nezapomeňte napsat jednu, pokud přidáte jeden z addendů z držáku) a kvocient: 10a. Ukazuje se, že:

5a ² + 50a ³ = 5a ² (1 + 10a)

Čtverečné vzorce

Pro usnadnění bylo odvozeno několik vzorců. Jsou nazývány zkrácenými množitelskými formulemi a používají se poměrně často. Tyto vzorce pomáhají ovlivňovat polynomy obsahující stupně. To je další účinný způsob factoringu. Takže tady jsou:

• ² + 2b + b ² = (a + b) ² - vzorec, který se nazývá "čtverec součtu", protože v důsledku rozkladu na čtverec je součet čísel uzavřen v závorkách, tj. hodnota této sumy se vynásobí 2krát , což znamená, že jde o násobitel.
• a ² + 2ab - b ² = (a - b) ^{2 -} vzorec čtverce rozdílu je podobný předchozímu. Výsledkem je rozdíl, uzavřený v závorkách, obsažený ve čtvercovém výkonu.
• a ² - b ² = (a + b) (a - b) je vzorec pro rozdíl čtverců, jelikož původní polynom se skládá ze dvou čtverců čísel nebo výrazů, mezi kterými se provádí odečítání. Možná, ze tří zmiňovaných, je nejčastěji používán.

Příklady výpočtů čtvercových vzorců

Výpočty na nich jsou prostě jednoduché. Například:

1. 25x ² + 20xy + 4y ² - použijte vzorec "čtvercového součtu".
2. 25x ² je čtvercový výraz 5x. 20. je zdvojený produkt 2 * (5x * 2y) a 4y2 je čtverec 2y.
3. Takže 25x ² + 20xy + 4y2 = (5x + 2y) ² = (5x + 2y) (5x + 2u). Tento polynom je rozložen na 2 faktory (faktory jsou stejné, proto je napsán jako výraz se čtvercovým výkonem).

Akce s použitím rozdílu čtverců se dělají stejným způsobem. Vzorec zůstává rozdílem čtverců. Příklady tohoto vzorce jsou velmi snadno identifikovatelné a nacházejí se mezi jinými výrazy. Například:

• 25a ² - 400 = (5a - 20) (5a + 20). Protože 25a ² = (5a) ² a 400 = 20 ²
• 36x ² - 25y ² = (6x - 5y) (6x + 5y). Protože 36x ² = (6x) ² a 25y2 = (5y2)
• c 2-169b ² = (c-13b) (c + 13b). Protože 169b ² = (13b) ²

Je důležité, aby každá addenda byla čtvercem výrazu. Pak je tento polynom vystaven faktorizaci podle vzorce rozdílu čtverců. Za tímto účelem není nutné, aby druhý stupeň byl nad číslem. Existují polynomy obsahující velké stupně, ale stále vhodné pro tyto vzorce.

a ⁸ + 10a ⁴ + 25 = (a ⁴ ) ² + 2 * a ⁴ * 5 + 5 ² = (a ⁴ + 5) ²

V tomto příkladu je ⁸ může být reprezentován jako (a ⁴ ) ² , tj. čtverec určitého výrazu. 25 je 5 ² a 10a ⁴ je dvojitá práce termíny 2 * a ⁴ * 5. To znamená, že tento výraz, i přes přítomnost stupňů s velkými exponenty, se může rozložit na 2 faktory, které s nimi budou později pracovat.

Formula Cubes

Stejné vzorce existují pro factoringové polynomy obsahující kostky. Jsou o něco komplikovanější než ty, které mají čtverce:

• a ³ + b ³ = (a + b) (a ² - ab + b ² ) - tento vzorec se nazývá součet kostek, protože ve své původní podobě je polynom součet dvou výrazů nebo čísel uzavřených v kostce.
• a ³ - b ³ = (a - b) (a ² + ab + b ² ) - vzorec shodný s předchozím, označovaným jako rozdíl kostek.
• ³ + 3a ² b + 3ab ² + b ³ = (a + b) ^{3 je} krychle součtu, v důsledku výpočtů je součet čísel nebo výrazů uveden, uzavřen v závorkách a násoben třikrát násobením, to jest v kostce
• a - b - ³ - vzorec vytvořený analogicky jako předchozí s změnou pouze některých znaků matematických operací (plus a mínus) se nazývá "rozdílová kostka".

Poslední dvě vzorce se prakticky nepoužívají za účelem rozložení polynomu na faktory, protože jsou složité a poněkud vzácně existují polynomy, které zcela odpovídají takové struktuře tak, aby mohly být expandovány podle těchto vzorců. Ale stále je musíte znát, protože budou vyžadovány pro akce v opačném směru - při otvírání závor.

Příklady kostkových vzorců

Zvažte příklad: 64a ³ - 8b ³ = (4a) ³ - (2b) ³ = (4a - 2b) (4a) ² + 4a * 2b + + 4b ² ).

Zde je dostatek primární čísla proto můžete okamžitě vidět, že 64a3 je (4a) ³ a 8b3 je (2b) ³ . Takto je tento polynom rozdělen podle vzorce rozdílu kostek o 2 faktory. Akce na vzorec pro součet kostek jsou provedeny analogicky.

Je důležité si uvědomit, že ne všechny polynomy jsou vystaveny rozkladu alespoň jedním ze způsobů. Ale existují takové výrazy, které obsahují větší stupně než čtverec nebo kostka, ale mohou být také rozšířeny do zkrácených multiplikačních forem. Například: x ¹² + 125y ³ = (x ⁴ ) ³ + (5y) ³ = (x ⁴ + 5y) * ((x ⁴ ) ² - x ⁴ * 5y + (5y) ² ) = (x ⁴ + 5y) x ⁸ - 5x ⁴ y + 25y ² ).

Tento příklad obsahuje až 12 stupňů. Ale i to je možné vyčíslit pomocí vzorce pro součet kostek. K tomu musí být x ¹² reprezentováno jako (x ⁴ ) ³ , tj. Jako kostka nějakého výrazu. Teď místo ve vzorci je nutné ho nahradit. Ale výraz 125y3 je 5y kostka. Dále byste měli produkt vyrobit podle vzorce a provést výpočty.

Nejprve nebo v případě pochybností můžete vždy provést reverzní násobení. Potřebujete pouze otevřít závorky ve výsledném výrazu a provádět akce s podobnými výrazy. Tato metoda platí pro všechny uvedené metody redukce: jak pro práci se společným faktorem a seskupením, tak pro akce používající vzorce kostek a čtvercových stupňů.