Některé body o tom, jak se vyřeší řešení nerovností

Jedním z témat, která od studentů vyžaduje maximální pozornost a vytrvalost, je řešení nerovností. Ty jsou podobné rovnicím a zároveň se od nich liší. Protože jejich řešení vyžaduje zvláštní přístup.

Vlastnosti, které budou vyžadovány k nalezení odpovědi

Všechny se používají k nahrazení stávajícího záznamu ekvivalentem. Většina z nich je podobná tomu, co bylo v rovnicích. Ale existují rozdíly.

• Funkce definovaná v LDU nebo libovolné číslo může být přidána na obě strany původní nerovnosti.
• Podobně je možné násobení, ale pouze kladnou funkcí nebo číslem.
• Pokud je tato akce provedena s negativní funkcí nebo číslem, musí být znak nerovnosti nahrazen opačným znaménkem.
• Negativní funkce mohou být zvýšeny na pozitivní výkon.

Někdy je řešení nerovností doprovázeno akcemi, které poskytují cizí odpovědi. Musí být vyloučeny porovnáním domény DHS a různými řešeními.

Použití metody rozestupu

Jeho podstatou je snížit nerovnost na rovnici, ve které je na pravé straně nula.

1. Určete oblast, kde leží platné hodnoty proměnných, tedy LDL.
2. Transformujte nerovnost pomocí matematických operací tak, že v pravé části je nula.
3. Nahraďte znaménko nerovnosti "=" a vyřešte odpovídající rovnici.
4. Na číselné ose označíte všechny odpovědi, které se během řešení objevily, stejně jako intervaly TLD. S přísnou nerovností bodu, který potřebujete nakreslit. Pokud existuje rovnocenné znamení, měly by být převráceny.
5. Určete znaménko původní funkce v každém intervalu, které je výsledkem bodů LDD a rozdělíte jeho odpovědi. Pokud při přechodu přes bod se znak funkce nezmění, pak se dostane do odpovědi. Jinak - vyloučeno.
6. Hraniční body pro TLD je třeba dodatečně zkontrolovat a teprve pak do odpovědi zahrnout nebo ne.
7. Získaná odpověď musí být napsána ve formě sjednocených sad.

Něco o dvojitých nerovnostech

V záznamu používají dva znaky nerovnosti. To znamená, že některé funkce jsou podmínky omezeny okamžitě dvakrát. Takové nerovnosti jsou řešeny jako systém dvou, když je originál rozdělen na části. V intervalové metodě jsou uvedeny odpovědi z řešení obou rovnic.

Pro jejich vyřešení je také možné použít výše uvedené vlastnosti. S jejich pomocí je vhodné snížit nerovnost na nulu rovnosti.

Jaká je situace s nerovnostmi, ve kterých existuje modul?

V tomto případě řešení nerovností používá následující vlastnosti a platí pro pozitivní hodnotu "a".

Pokud "x" má algebraický výraz, pak jsou tyto substituce pravdivé:

• | x | <a až -a <x <a;
• | x | > a na x <-a nebo x> a.

Pokud nejsou nerovnosti přísné, pak jsou vzorce také pravdivé, pouze v nich, s výjimkou znamení více či méně, se objeví "=".

Jak vyřešit systém nerovností?

Tato znalost bude vyžadována v případech, kdy je daný úkol zadán, nebo je zaznamenána dvojnásobná nerovnost nebo se v záznamu objeví modul. V takovém případě by řešení bylo hodnotami proměnných, které by uspokojily všechny nerovnosti v záznamu. Pokud taková čísla neexistují, systém nemá žádné řešení.

Plán řešení tohoto systému nerovností:

• vyřešit každý z nich zvlášť;
• nakreslete všechny mezery na numerické ose a určete jejich průsečíky;
• napište odpověď systému, která bude spojením toho, co se stalo ve druhém odstavci.

Jak se vypořádat s frakčními nerovnostmi?

Vzhledem k tomu, že při jejich řešení může být nutné změnit znamení nerovnosti, je nutné provádět všechny body plánu velmi pečlivě a pečlivě. Jinak to může být opačná odpověď.

Řešení frakčních nerovností také používá intervalovou metodu. Akční plán bude:

• Použitím popsaných vlastností poskytněte zlomek takový vzhled, že vpravo od značky zůstane pouze nula.
• Nahraďte nerovnost "=" a určete body, ve kterých bude funkce roven nule.
• Označte je na ose souřadnic. V tomto případě budou čísla vyplývající z výpočtů v jmenovateli vždy propíchnuta. Všechny ostatní - založené na podmínkách nerovnosti.
• Určete intervaly konzistence.
• V odpovědi napište spojení těchto intervalů, jehož znamení odpovídá tomu, co bylo v původní nerovnosti.

Situace, kdy se nerovnost projevuje iracionality

Jinými slovy, v záznamu je matematický kořen. Vzhledem k tomu, že ve školním kurzu algebry jde většina úkolů druhá odmocnina pak to bude zváženo.

Řešením iracionálních nerovností je získat systém dvou nebo tří, který bude rovnocenný původnímu.

Příklady řešení různých typů nerovností

Abychom dosáhli přehlednosti teorie řešení nerovností, uvádíme níže příklady.

První příklad. 2x - 4> 1 + x

Řešení: pro určení TLD stačí jen pečlivě se podívat na nerovnost. Je tvořen z lineárních funkcí, proto je definován pro všechny hodnoty proměnné.

Teď z obou stran nerovnosti je třeba odečíst (1 + x). Ukázalo se: 2x - 4 - (1 + x)> 0. Po otevření hranatých závorek a jejich zadání platí nerovnost následující forma: x - 5> 0.

Vyrovnáváním to na nulu je snadné najít jeho řešení: x = 5.

Nyní s tímto číslem 5 musíte označit na souřadnicovém paprsku. Poté zkontrolujte znaménka původní funkce. V prvním intervalu od minus nekonečno do 5 můžete zařadit číslo 0 a nahradit ho nerovností, která vznikla transformací. Po výpočtech se ukáže -7> 0. pod obloukem intervalu je třeba podepsat znaménko mínus.

V dalším intervalu od 5 do nekonečna můžete zvolit číslo 6. Poté se ukáže, že 1> 0. Pod obloukem je podepsán znak "+". Tento druhý interval bude odpovědí na nerovnost.

Odpověď: x leží v intervalu (5; ∞).

Druhý příklad. Je třeba vyřešit systém dvou rovnic: 3x + 3 ≤ 2x + 1 a 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Rozhodnutí. LDL těchto nerovností spočívá také v oblasti libovolných čísel, jelikož jsou uvedeny lineární funkce.

Pak musíte jednat po etapách. Nejprve převeďte první z nerovností a rovno ji na nulu. 3x + 3 - 2x - 1 = 0. To znamená, že x + 2 = 0. Tedy x je -2.

Druhá nerovnost bude mít formu takové rovnice: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Po transformaci: -x - 4 = 0. Hodnota proměnné je -4.

Tato dvě čísla by měla být označena na ose a zobrazovat intervaly. Vzhledem k tomu, že nerovnost není přísná, musí být všechny body namalovány. První interval od mínus nekonečno do -4. Nechť číslo je -5. První nerovnost dá hodnotu -3 a druhá nerovnost, což znamená, že tato mezera není zahrnuta v odpovědi.

Druhý interval je od -4 do -2. Můžete si vybrat číslo -3 a nahradit ho v obou nerovnostech. V první a druhé se získá hodnota -1. Takže pod obloukem "-".

V posledním intervalu od -2 do nekonečna je nejlépe číslo nulové. Je nutné ji nahradit a najít hodnoty nerovností. V prvním z nich se získá kladné číslo a druhé je nulové. Tato mezera by měla být z odpovědi vyloučena.

Ze tří odstupů je řešení nerovnosti pouze jedno.

Odpověď: x patří k [-4; -2].

Třetím příkladem. | 1 - x | > 2 | x - 1 |.

Rozhodnutí. Prvním krokem je určit body, ve kterých funkce zmizí. Vlevo toto číslo bude 2, pro správné číslo 1. Měli by být označeny na paprsku a určeny intervaly znamení stálosti.

V prvním intervalu, od mínus nekonečno k 1, funkce z levé strany nerovnosti přebírá kladné hodnoty a z pravé strany přijímá záporné hodnoty. Pod obloukem musíte zapsat dva znaky "+" a "-" vedle sebe.

Další interval je od 1 do 2. U obou funkcí mají pozitivní hodnoty. Takže, pod obloukem, dva plus.

Třetí interval od 2 do nekonečna dává následující výsledek: levá funkce je záporná, pravá je pozitivní.

Vzhledem k výsledným značkám je nutné vypočítat hodnoty nerovnosti pro všechny intervaly.

Na prvním místě dostaneme následující nerovnost: 2 - x> - 2 (x - 1). Mínus před dvěma v druhé nerovnosti je způsoben skutečností, že tato funkce je negativní.

Po transformaci nerovnost vypadá takto: x> 0. Okamžitě udává hodnoty proměnné. To znamená, že z tohoto intervalu se vrátí pouze interval od 0 do 1.

Na druhé: 2 - x> 2 (x - 1). Konverze poskytnou následující nerovnosti: -3x + 4 více než nula. Jeho nula je x = 4/3. Vzhledem k označení nerovnosti se ukazuje, že x musí být menší než toto číslo. Proto je tento interval snižován na interval od 1 do 4/3.

Druhý uvádí následující nerovnost: - (2 - x)> 2 (x - 1). Jeho transformace vede k následujícímu: x> 0. To znamená, že rovnice platí pro x menší než nula. To znamená, že v požadované mezery nerovnost nedává řešení.

V prvních dvou intervalech se tato hranice ukázala jako číslo 1. Je třeba ji zkontrolovat odděleně. To je, nahradit původní nerovnost. Ukazuje se: | 2 - 1 | > 2 | 1 - 1 |. Výpočet udává, že 1 je větší než 0. Toto je platné prohlášení, takže je součástí odpovědi.

Odpověď: x leží v intervalu (0; 4/3).