Hlavní typy diferenciálních rovnic prvního řádu

Najděte funkci f nějakou danou závislostí, která zahrnuje funkci samotnou s argumenty a jejími deriváty. Tento typ problému je relevantní ve fyzice, chemii, ekonomii, technologii a dalších oblastech vědy. Takové závislosti se nazývají diferenciální rovnice. Například y '- 2xy = 2 je diferenciální rovnice 1. řádu. Podívejme se, jak jsou tyto typy rovnic řešeny.

Co to je?

Rovnice, která vypadá takto:

• f (y, y ', ..., y ⁽¹⁰⁾ , y ⁽¹¹⁾ , ..., y ^(k) , x)

Nazývá se obyčejný difur a je charakterizován jako rovnice řádu k a závisí na x a derivátech y ', y', ... - až k k-th.

Odrůdy

V případě, že funkce, která se nachází v diferenciální rovnici závisí pouze na jednom argumentu, je typ diferenciální rovnice označován jako obyčejný. Jinými slovy, v rovnici funkce f a všechny její deriváty závisí pouze na argumentu x.

Když hledaná funkce závisí na několika různých argumentech, rovnice se nazývají částečně diferenciální deriváty. Obvykle vypadají jako:

• f (x, f _x ', ..., y, f _y ' ..., z, ..., f _z '', ...)

kde výrazem f _x 'se rozumí derivát funkce vzhledem k argumentu x a f _z ' je dvojitá derivace funkce s ohledem na argument z a tak dále.

Řešení

Je snadné odhadnout, co přesně je považováno za řešení rozdílu. rovnice. Tato funkce, jejíž nahrazení v rovnici dává stejný výsledek na obou stranách rovného znaménka, se nazývá řešení. Například rovnice t '' + a ² t = 0 má řešení ve tvaru t = 3Cos (ax) - Sin (ax):

Zjednodušená rovnice 3 zjistíme, že t '' + a ² t = 0 pro všechny hodnoty argumentu x. Měla by však okamžitě provést rezervaci. Rovnice t = 3Cos (ax) - sin (ax) není jediným řešením, ale pouze jedním nekonečným souborem, který je popsán vzorcem mCos (ax) + nSin (ax).

Důvodem tohoto vztahu je definice primitivní funkce v integrálním čísle: pokud Q je primitivní (přesněji jedna z mnoha) pro funkci q, potom ∫q (x) dx = Q (x) + C, kde C je libovolná konstanta, inverzní operace - odvození funkce Q '(x).

Vynecháme definici toho, co je řešení rovnice kth. Není těžké si představit, že čím větší je pořadí derivace, tím více konstant vzniká v procesu integrace. Mělo by také být vyjasněno, že definice popsaná výše pro řešení není úplná. Ale pro matematiky sedmnáctého století to stačilo.

Níže uvažujeme pouze o hlavních typech diferenciálních rovnic první objednávky. Nejzákladnější a nejjednodušší. Kromě nich existuje i jiný rozdíl. rovnice: homogenní, v plném rozdílu a Bernoulli. Ale řešení všech je často spojeno s metodou oddělitelných proměnných, které budou popsány níže.

Oddělení proměnných jako řešení

F = 0 - je rozdíl. rovnice řádu 1. Při řešení tohoto typu diferenciálních rovnic jsou snadno redukovány na formu y '= f. Například rovnice e ^{y '} - 1 - xy = 0 je redukována na formu y' = ln (1 + xy). Operace redukce diferenciální rovnice na tuto formu se nazývá její rozlišení vzhledem k derivátu y '.

Po vyřešení rovnice je třeba ji přenést do diferenciální podoby. To se děje vynásobením všech částí rovnosti dx. Z y '= f dostaneme y'dx = fdx. Vzhledem k tomu, že y'dx = dy, získáváme rovnici ve tvaru:

• dy = f dx - což se nazývá diferenciální forma.

Je zřejmé, že y '= f (x) je nejjednodušší diferenciální rovnice prvního řádu. Jeho řešení je dosaženo jednoduchou integrací. Složitější forma je q (y) * y '= p (x), kde q (y) je funkce závislá na y a p (x) je funkce závislá na x. Po přenesení do diferenciální podoby získáme:

• q (y) dy = p (x) dx

Je snadné pochopit, proč se rovnice nazývá dělená: její levá strana obsahuje pouze proměnnou y a pravou stranu pouze x. Taková rovnice je řešena pomocí následující věty: jestliže funkce p má primitivní P a q má Q, potom bude integrál difur Q (y) = P (x) + C.

Vyřešte rovnici z '(x) ctg (z) = 1 / x. Zmenšení této rovnice na rozdílnou formu: ctg (z) dz = dx / x; a přičemž integrál obou částí ∫ctg (z) dz = dx / x; Získáme roztok v obecné formě: C + ln | sin (z) | = ln | x |. Kvůli kráse lze tuto rovnici napsat jiným způsobem podle logaritmických pravidel, pokud nastavíme C = ln W - dostaneme W | sin (z) | = | x | nebo ještě jednodušší, WSin (z) = x.

Rovnice formy dy / dx = q (y) p (x)

Separace proměnných lze aplikovat na rovnice tvaru y '= q (y) p (x). Je třeba pouze vzít v úvahu případ, kdy q (y) pro nějaké číslo a zmizí. To znamená q (a) = 0. V tomto případě je funkce y = a řešení, jelikož pro ni y '= 0, tedy q (a) p (x) je také nulová. Pro všechny ostatní hodnoty, kde q (y) není rovno 0, můžeme zapsat diferenční formu:

• p (x) dx = dy / q (y),

integrující se, získat společné řešení.

Vyřešte rovnici S '= t ² (Sa) (Sb). Je zřejmé, že kořeny rovnice jsou čísla a a b. Proto S = a a S = b jsou řešení této rovnice. Pro ostatní hodnoty S máme diferenční formu: dS / [(Sa) (Sb)] = t ² dt. Odkud je snadné získat společný integrál.

Rovnice formy H (y) W (x) y '+ M (y) J (x) = 0

Řešením tohoto typu rovnice pro y 'získáváme: y' = - C (x) D (y) / A (x) B (y). Diferenciální forma této rovnice bude následující:

• W (x) H (y) dy + J (x) M (y) dx = 0

Abychom tuto rovnici vyřešili, musíme zvážit nulové případy. Pokud a je kořen W (x), potom x = a je integrál, protože z toho vyplývá, že dx = 0. Stejně tak, pokud b je kořen M (y). Pak pro rozsah hodnot x, pro které W a M nezmizí, je možné rozdělit proměnné dělením podle výrazu W (x) M (y). Pak může být výraz integrován.

Mnoho typů rovnic, na které na první pohled nelze použít separaci proměnných, se ukázalo jako takové. Například v trigonometrii se to dosahuje prostřednictvím identických transformací. Také může být často vhodné mít nějakou vtipnou náhradu, po níž bude možné použít metodu oddělených proměnných. Typy diferenciálních rovnic první objednávky mohou vypadat velmi odlišně.

Lineární rovnice

Stejně důležitý typ diferenciálních rovnic, jejichž řešení se vyskytuje substitucí a redukuje je na metodu oddělených proměnných.

• Q (x) y + P (x) y '= R (x) - je rovnice, která je lineární při posuzování vzhledem k funkci a jejímu derivátu. P, Q, R - jsou spojité funkce.

Pro případy, kdy P (x) není rovno 0, je možné snížit rovnici na tvar vyřešenou vzhledem k y ', dělení všech částí P (x).

• y '+ h (x) y = j (x), kde h (x) a j (x) jsou poměry funkcí Q / P a R / P.

Řešení lineárních rovnic

Lineární rovnice může být nazývána homogenní v případě, kdy j (x) = 0, tj. H (x) y + y '= 0. Taková rovnice se nazývá homogenní a snadno se od sebe oddělí: y' / y = -h (x). Začleňujeme jej: ln | y | = -H (x) + ln (C). Kde y je vyjádřeno ve tvaru y = Ce- ^{H (x)} .

Například z '= zCos (x). Oddělením proměnných a zmenšením rovnice na diferenciální podobu a následnou integrací získáme, že obecné řešení bude mít výraz y = Ce ^{Sin (x)} .

Nehomogenní je lineární rovnice v její obecné podobě, tj. J (x) není rovna 0. Její řešení sestává z několika fází. Nejprve byste měli vyřešit homogenní rovnici. To znamená, že rovná se j (x) na nulu. Nechť u je jedno z řešení odpovídajících homogenních lineárních rovnic. Pak držte totožnost u '+ h (x) u = 0.

Proveďte v y '+ h (x) y = j (x) změnu tvaru y = uv a get (uv)' + h (x) = j (x). Pokud máme rovnici u (u '+ h (x) u) + uv' = j (x), vidíme, že v první části u '+ h (x) (x) / u (x). Odtud vypočítáme antiderivant ∫v = V + С. Po zpětné výměně nalezneme y = u (V + C), kde u je řešení homogenní rovnice a V je primitivní vztah j / u.

Najděte řešení pro rovnici y'-2xy = 2, která se týká typu diferenciálních rovnic první objednávky. Nejprve se rozhodněte homogenní rovnice u '- 2xu = 0. Získáváme u = e ^2x + C. Pro jednoduchost je řešení nastaveno na C = 0, protože pro řešení problému potřebujeme pouze jedno řešení a ne všechny možnosti.

Pak vyměníme y = vu a dostaneme v '(x) u + v (u' (x) - 2u (x) x) = 2. Potom: v ' ) = 2e ^-2x . Pak primitivní V (x) = -εe ^-2x d (-2x) = - e ^-2x + C. Výsledkem je, že obecné řešení pro y '- 2xy = 2 je y = uv = (-1) ) e ^-2x = - 1-Ce- ^2x .

Jak zjistit typ diferenciální rovnice? Chcete-li to provést, vyřešte jej s ohledem na derivát a zjistěte, zda můžete použít metodu oddělení proměnných přímo nebo nahrazením.