Diferenciální homogenní rovnice: rysy a řešení

Pojďme analyzovat jednu z důležitých tříd diferenciálních rovnic, které jsou řešeny redukcí na metodu separace proměnných substitučními - homogenními rovnicemi. Budeme se dotýkat metod řešení. lineární rovnice které jsou často zaměněny za homogenní.

Homogenní rovnice

Začneme definici. F je homogenní, pokud je pravda, že f (kx, ky) = f (x, y), kde k je libovolné nenulové číslo. Příklady homogenní funkce:

Pro ověření jejich homogenity postačí vynásobit argumenty funkce F nebo A faktorem a zjistit, zda se zmenší.

Výměna e (t) = f (1, t)

Nad tím bylo řečeno, že diferenciální rovnice s homogenními funkcemi se snižují na jejich oddělitelné nahrazením. Chcete-li to vysvětlit, zvažte lemu.

Lemma 1. Pokud w je homogenní funkce prvního stupně s argumenty x a y, pak je totožnost w (x, y) = e (y / x) pravdivá a e (t) = f (1, t).

Tato lemma je osvědčená triviálním způsobem: pro to stačí nastavit k = 1 / x pro všechny nenulové x.

Aplikace náhrady řešení y '= f (x, y)

Předpokládejme, že máme y '= f, kde f je homogenní funkce. Pro řešení homogenní diferenciální rovnice založené na Lemma 1 můžeme reprezentovat y '= e (y / x). Rovnice je řešitelná oddělením proměnných. Nechť y / x = v je požadovaná funkce. Takže y = xv a y '= v + xv'. Získáme rovnici tvaru v + xv '= e (v) nebo xv' = e (v) - v.

Zvažte to podrobněji. V tomto případě jsou řešení rovnice všechny hodnoty v = v _n - body, ve kterých funkce [e (v) - v] zmizí. Proto jsou hodnoty y _n = v _n x - řešení y '= e (y / x). V oblasti hodnot, kde [e (v) - v] nezmizí, lze použít separaci proměnných. To je:

Integrace získáme řešení E = ln | x | + C.

Poznámka:

Zvažte, proč výše uvedená náhrada funguje při řešení homogenních diferenciálních rovnic. Proveďte toto obecné řešení E = ln | x | + C a nahradit x za kx a y s ky: E = ln | kx | + C = ln (k) + ln | x | + C. Naopak, výraz ln (k) + C může být reprezentován jako W a pak bude vypadat jako E = ln | x | + W.

Ukazuje se, že nahrazení x s kx a y s ky vede pouze k nahrazení jednoho řešení jiným, ale ze stejné třídy. Jinými slovy, druhé řešení také vyhovuje původní rovnici. Popsaná vlastnost na rovině souřadnic se nazývá homothety, to znamená, že integrální křivky homogenních diferenciálních rovnic se transformují do sebe.

Příklad 1

Vzhledem k rovnici l ² + ml + m ² l + m ² = 0. Najděte její řešení. Nezkušené oko může rychle vyvodit, že tato rovnice není homogenní, protože nahrazení km namísto m a kn místo n nedává původní rovnici. Chyba v tomto případě je, že rovnice nebyla předtím vyřešena vzhledem k derivátu n '. Uděláme to.

V této podobě lze snadno určit, že rovnice je homogenní.

Pokračujeme k řešení nahrazením l / m = v. Získáme l = vm a l '= mv' + v. Nahraďte tyto hodnoty do rovnice:

Získáme mv '= - (v + 1) ² . Je zřejmé, že bod -1 je nj řešení rovnice a před nahrazením n = -m. Když v + 1 není rovno nule, rozdělte proměnné:

Z výsledné rovnice v diferenciální podobě lze snadno najít společný integrál:

Zpáteční náhradu provedeme:

Nezapomeňte na dříve nalezené řešení n = -m.

Lineární diferenciální rovnice

Homogenní diferenciální rovnice jsou často zaměňovány s lineárními. Kvůli úplnosti zvažte trochu a tuto třídu. Takže diferenciální rovnice se nazývá lineární, ve které je funkce a její derivát uspořádány v lineárním vztahu, tj. Získáme rovnici, která má následující podobu:

• o (x) y '+ w (x) y = e (x);

w, o, e - představují libovolné funkce.

Abychom tuto rovnici vyřešili pro y ', je třeba vzít v úvahu všechny kořeny o (x). Předpokládejme, že pro nějaké číslo o (x ₀ ) = 0, pak jedno z řešení popsané rovnice je x ₀ , protože (x) dy = 0 a dx = 0. To se stane zřejmým, pokud zapíšeme diferenciální rovnici rovnice vynásobením obou stranami dx: o (x) dy + w (x) ydx = e (x) dx.

Odstranění nulových hodnot o (x), pro zbývající hodnoty x, zapište rovnici do vyřešené podoby a vydělejte ji o (x).

Řešení lineárních diferenciálních rovnic

V této třídě rovnic existují dvě možnosti. První je, když je volný p (x) nula (homogenní) a druhá je, když p (x) je nenulová (nehomogenní). Takže máme následující dva případy:

• y '+ r (x) y = 0 je homogenní rovnice.
• y '+ r (x) y = p (x) je nehomogenní rovnice.

Homogenní se snadno redukuje na dělenou formu y '/ y = -r (x) nebo dy / y = -r (x) dx. Po integraci získáme obecné řešení pro homogenní rovnice: y = Ce ^{-r (x)} .

Ve všeobecném případě je lineární rovnice (nehomogenní) řešena v několika fázích:

1. Nejprve je rovnice rovnoměrně vyřešena: p (x) je konvenčně rovnocenná s 0. Předpokládejme, že u je požadované řešení, to znamená, že máme u '+ r (x) u = 0. Pamatujte si na tuto totožnost.
2. V nehomogenní rovnici zavádíme substituci y = uv, pak (uv) '+ (uv) r (x) = p (x). Po provedení některých transformací máme v (r (x) u + u ') + uv' = p (x). Vzpomínáme-li na totožnost z bodu 1, získáváme v'u = p (x). V tomto případě je primitivní snadno nalezena z v '= p / u.
3. Výsledkem je, že nehomogenní roztok se skládá ze dvou částí: u (C + V), kde u je homogenní roztok s nulovou konstantou a V je primitivní pro poměr p / u.

Další záměna homogenních rovnic vzniká při zvažování homogenních systémů rovnic. Je to však další záležitost, jejíž úvaha je mimo rozsah tohoto článku.

Příklady

Vzhledem k problému. Potřebujete najít řešení.

Je zřejmé, že tato rovnice je nerovnoměrná, proto nejdříve vyřešíme následující rovnici:

Je třeba poznamenat, že jedním z řešení rovnice je y = 0. Hledání obecného řešení se provádí pomocí diferenciální podoby, která umožňuje použít oddělení proměnných:

Integrace vede k řešení: ln | y | = A - ln (1 + t ² ) / 2. Tím, že reprezentujete A jako ln B, můžete řešit řešení elegantněji:

Řešení nehomogenní rovnice je možné provést v jiném podobným způsobem, který se nazývá metoda variace konstantní nebo Lagrangeovy metody. Teoreticky to popisujeme.

V rovnici diferenciálních rovnic tvaru r (x) y + y '= p (x) změníme y = c (x) e ^-R (x) - neznámá funkce, která má být určena.

Po všech transformacích se ukázalo, že c '(x) = e ^{R (x)} f (x). Odtud se (x) snadno integruje. Vrátíme-li c (x) zpět do y = c (x) e- ^{R (x)} , získáme y = e ^{-R (x)} c (x) + De ^{-R (x)} , která nastane, když je integrován c (x).

Pomocí metody Lagrange pro náš problém nastavíme:

Nahrazením této změny do původní rovnice zjistíme, že c (t) = (1/2) t ² . Píšeme řešení nehomogenní rovnice:

Zvažte další příklad. Najít řešení (x - 2xy - y ² ) dy + y ² dx = 0. Všimněte si, že y = 0 je jedním z řešení rovnice. Pomocí této skutečnosti můžeme všechny části rovnice rozdělit výrazem y ² dy. Po provedení některých transformací získáme:

Je třeba poznamenat, že se zdálo, že jsme vyvinuli závislost. Proč ne? Funkce x a y ve funkci jsou stejné a závislé na sobě. Nyní řešíme ne funkci y (x), ale x (y) a x ' _y není nic jiného než derivát funkce x (y) vzhledem k proměnné y. Nebo dx / dy. V této podobě lze snadno zjistit, že se jedná o nehomogenní rovnici, a tak řešíme tuto homogenní rovnici:

Získáme x = Cy ² e ^{1 / y} . Zbývá pouze najít řešení původní rovnice variační metodou, nastavením x = y ² c (y) e ^{1 / y} . Po nahrazení této substituce v rovnici máme:

Z toho vypočítáme, že c (y) = e ^{-1 / y} + D. Řešení problému bude následující:

y = 0

x = y ² + Dy ² e ^{1 / y} .

Zvažovali jsme způsoby řešení lineárních homogenních rovnic.