Učitelé věří, že každý školák by měl být schopen provádět výpočty, znát trigonometrické vzorce, ale ne každý učitel vysvětluje, co je sinus a kosinus. Jaký je jejich význam, kde jsou použity? Proč mluvíme o trojúhelnících a v učebnici je nakreslena kružnice? Pokusíme se spojit všechny fakty dohromady.
Studium trigonometrie obvykle začíná ve stupni 7-8. V tomto okamžiku jsou studenti informováni o tom, co je sinus a kosinus, navrhují řešit geometrické problémy pomocí těchto funkcí. Později se objevují složitější vzorce a výrazy, které je třeba převést algebraickým způsobem (vzorce dvojitých a polovičních úhlů, výkonové funkce) a práce se provádí pomocí trigonometrického kruhu.
Učitelé však nejsou vždy schopni jasně vysvětlit význam použitých pojmů a použitelnosti vzorců. Proto student často nevidí bod v tomto předmětu a zapomenuté informace jsou rychle zapomenuty. Stojí však za to, že jednou studentům střední školy vysvětlí spojení mezi funkcí a oscilačním pohybem a logické spojení se bude pamatovat po mnoho let a vtipy o zbytečnosti tohoto předmětu budou věcí minulosti.
Podívejme se na zvědavost v různých částech fyziky. Chcete určit rozmezí projektilu? Nebo vypočítat třecí sílu mezi objektem a určitým povrchem? Houpání kyvadla, pozorování paprsků, které procházejí sklem, vypočítá indukci? Prakticky se objevují nějaké formulace trigonometrických konceptů. Takže co je sinus a kosinus?
Sínus úhlu je poměr protilehlé nohy k hypotenze, kosinus sousední nohy je stejný ke stejné hypotenze. Není absolutně nic komplikovaného. Možná, že studenti jsou obvykle zmateni hodnotami, které vidí v trigonometrické tabulce, protože se objeví čtvercové kořeny. Ano, vyjděte z nich desetinná místa ne velmi pohodlné, ale kdo řekl, že všechna čísla v matematice by měla být rovnoměrná?
Ve skutečnosti najdete v knihách o problémech trigonometrie zábavné náznaky: většina odpovědí je zde i v nejhorším případě obsahuje kořen dvou nebo tří. Závěr je jednoduchý: pokud v odpovědi získáte "vícestupňový" zlomek, zkontrolujte dvakrát rozhodnutí o chybách ve výpočtech nebo v argumentech. A ty je s největší pravděpodobností najdeš.
Stejně jako u jakékoli vědy, v trigonometrii existují takové údaje, které se musí naučit.
Nejprve si zapamatujte číselné hodnoty pro sines, cosines pravý trojúhelník 0 a 90, jakož i 30, 45 a 60 stupňů. Tyto ukazatele se nacházejí v devíti z deseti školních úkolů. Když tyto hodnoty uvidíte v učebnici, ztratíte hodně času a nebudete mít možnost se podívat na test nebo zkoušku.
Je třeba si uvědomit, že hodnota obou funkcí nesmí překročit jednu. Pokud někde ve výpočtech získáte hodnotu mimo rozsah 0-1, zastavte a znovu vyřešte problém.
Součet čtverců sinus a kosinus se rovná jednomu. Pokud jste již našli jednu z hodnot, použijte tento vzorec a vyhledejte zbývající hodnoty.
V základní trigonometrii existují dvě hlavní teorémy: sines a cosines.
První z nich říká, že poměr každé strany trojúhelníku k sinusu protilehlého úhlu je stejný. Druhá je, že čtverec libovolné strany lze získat přidáním čtverců dvou zbývajících stran a odečtením jejich dvojnásobného produktu vynásobeného kosinusem úhlu mezi nimi.
Takže, pokud kosinová věta Nahraďte hodnotu úhlu 90 stupňů, dostaneme ... Pythagorean větu. Nyní, pokud chcete vypočítat plochu postavy, která není pravý trojúhelník, už se nemusíte bát - dvě teorema zvažovaná výrazně zjednoduší řešení problému.
Studium trigonometrie se výrazně zjednoduší, když si uvědomíte jeden jednoduchý fakt: všechny akce, které provádíte, jsou zaměřeny na dosažení jediného cíle. Jakékoli parametry trojúhelníku lze nalézt, pokud znáte minimální informace o něm - může to být hodnota jednoho úhlu a délka dvou stran nebo například tři strany.
Chcete-li zjistit sinus, kosinus, tečnu jakéhokoli úhlu těchto dat stačí, s jejich pomocí, můžete snadno vypočítat plochu obrázku. Téměř vždy je jedna z uvedených hodnot vyžadována jako odpověď a lze je najít pomocí stejných vzorců.
Jednou z nejasných otázek, které si studenti dávají přednost, je najít spojení mezi různými pojmy v trigonometrii. Zdá se, že trojúhelníky jsou používány ke studiu sinusů a kosinů rohů, ale z nějakého důvodu se symboly často objevují na obrázku s kruhem. Kromě toho existuje nepochopitelný graf podobný vlnám nazývaný sinusoid, který nemá žádnou vnější podobnost s kruhem ani s trojúhelníky.
Navíc jsou úhly měřeny ve stupních, pak v radiánech a číslo Pi, psané jednoduše jako 3.14 (bez jednotek), se z nějakého důvodu objeví ve vzorcích, což odpovídá 180 stupňům. Jak to všechno souvisí?
Proč je pi přesně 3,14? Pamatuješ si, jaká je tato hodnota? To je počet poloměrů, které se nacházejí v polokruhovém oblouku. Pokud je průměr kruhu 2 centimetry, obvod bude 3,14 x 2 nebo 6,28.
Druhý bod: možná jste si všimli podobnosti slov "radian" a "radius". Faktem je, že jeden radián je číselně roven úhlu mezi středem kružnice a obloukem o délce jednoho poloměru.
Nyní se spojte získané poznatky a pochopte, proč je slovo "Pi v polovině" napsáno na ose souřadnic v trigonometrii a na levé straně - "Pi". Jedná se o úhlovou hodnotu měřenou v radiánech, protože polokruh je o 180 stupňů nebo o radiách o 3,14. A tam, kde jsou stupně, existují sines a cosines. Trojúhelník je snadno udržován od požadovaného bodu, přičemž segmenty jsou umístěny uprostřed a na ose souřadnic.
Trigonometrie, studovaná ve škole, se zabývá přímočarým souřadnicovým systémem, kde, jakkoli to může znít, je přímka přímá.
Existují však složitější způsoby práce s prostorem: součet úhlů trojúhelníku zde bude více než 180 stupňů a čára podle našeho názoru bude vypadat jako skutečný oblouk.
Pojďme od slov k činům! Vezměte jablko. Proveďte tři řezy nožem tak, aby při pohledu shora získali trojúhelník. Vyndejte výsledný kus jablka a podívejte se na "žebra", kde končí kůra. Nejsou vůbec přímé. Ovoce ve vašich rukou může být nazýváno kolem, a nyní si představte, jak složité by měly být vzorce, s nimiž můžete najít oblast řezaného kusu. Někteří odborníci však řeší takové problémy denně.
Všimli jste si, že nejkratší cesta letadla z bodu A do bodu B na povrchu naší planety má výrazný tvar oblouku? Důvod je jednoduchý: Země je ve tvaru koule, což znamená, že s pomocí trojúhelníků nemůžete spočítat mnoho - zde musíte použít složitější vzorce.
Nevyvíjejte bez sinusového / kosinusu ostrého úhlu v jakýchkoli otázkách souvisejících s prostorem. Je zajímavé, že se zde shromažďuje celé množství faktorů: při výpočtu pohybu planet v kružnicích, elipsách a různých trajektoriích složitějších tvarů se vyžadují trigonometrické funkce; proces vypouštění raket, satelitů, kyvadlové dopravy, zařízení pro vyčleňování zátěže; pozorování vzdálených hvězd a studium galaxií, které člověk nemůže v dohledné budoucnosti dosáhnout.
Obecně platí, že pole pro lidskou činnost, které vlastní trigonometrii, je velmi široké a zřejmě se bude postupně rozvíjet.
Dnes jsme se naučili nebo v každém případě zopakovali, co je sinus a kosinus. Jedná se o pojmy, které se nemusí bát - měli byste chtít, a pochopíte jejich význam. Nezapomeňte, že trigonometrie není cílem, ale pouze nástrojem, který lze využít k uspokojení skutečných potřeb člověka: stavět domy, zajistit bezpečnost provozu, dokonce prozkoumat otevřené prostory vesmíru.
Ve skutečnosti se věda sama může zdát nudná, ale jakmile zjistíte, že v ní je způsob, jak dosáhnout vašich vlastních cílů, seberealizace, proces učení se stane zajímavým a zvýší se vaše osobní motivace.
Jako domácí úkoly se pokuste najít způsoby, jak použít trigonometrické funkce v oblasti činnosti, která vás zajímá osobně. Představte si, zapněte fantazii a pak určitě zjistíte, že nové znalosti vám budou v budoucnu užitečné. Kromě toho je matematika užitečná pro obecný rozvoj myšlení.