Algebraická progrese: vzorce a příklady řešení

V tomto článku se bude diskutovat o algebraickém postupu, vzorcích nezbytných pro řešení problémů s její účastí ao některých příkladech jejich využití. Pro úplnost budeme krátce mluvit o dalším druhu postupu - geometrické.

Koncept algebraické progrese

Každá řada čísel, která je uspořádána podle některých zákonů, může být nazývána progresí. Nejpopulárnějším a nejčastěji používaným řešením praktických problémů jsou dva typy takových sérií: algebraická a geometrická progrese. Zvažte první z nich podrobněji.

Algebraická je často nazývána aritmetická progrese. Matematicky to znamená:

a _n = a _n-1 + d

To znamená, že mluvíme o takové číselné posloupnosti, ve které se některý z jeho členů liší od předchozího nebo následujícího stejným číslem d. Toto číslo se nazývá rozdíl (může být určen zjištěním rozdílu mezi dvěma sousedními prvky postupu).

Podle této definice má zvažovaný vývoj počátek, ale žádný konec. Vždy začíná pojmem a ₁ (jakékoliv reálné číslo) a potom pokračuje sčítáním tohoto člena s rozdílem d. Podle toho může být nekonečně rostoucí (d> 0) nebo klesající (d <0). Situaci, kdy d = 0 lze také považovat za zvláštní případ aritmetické progrese reprezentované nekonečnou sekvencí identických čísel.

Vzorec pro nalezení libovolného člena

Jak bylo vysvětleno výše, zvažovaný typ postupu je jednoznačně určen jeho prvním prvkem a rozdílem, nicméně toto pravidlo platí pro všechny ostatní hodnoty. Například znalost dvou libovolných prvků nebo jednoho prvku a součet určitého počtu členů také jednoznačně určuje průběh.

Chcete-li vypočítat nth element, můžete úspěšně použít následující vzorec:

a _n = a ₁ + (n - 1) * d

Zjevnost platnosti tohoto výrazu je nepochybná a každý jej může ověřit nahrazením malých hodnot n.

Formula pro obnovení postupu dvou známých prvků

Ve školním běhu algebry jsou tyto problémy typické pro postup: existují dva prvky a _n a _m , a n> m, je nutné na nich stavět celý postup.

Tento problém je vyřešen pomocí vzorce pro n-člen. Napsali jsme dva odpovídající výrazy:

a _n = a ₁ + (n-1) * d;

a _m = a ₁ + (m - 1) * d

Najděte rozdíl mezi prvním a druhým (značka rovnosti je zachována):

a _n - a _m = (n - m) * d =>

d = (a _n - _m ) / (n-m)

Vidíme, jak snadné je najít rozdíl v postupu, pokud jsou známy dva členové: k tomu je třeba odečíst menší z většího v pořadí a rozdělit výsledný rozdíl rozdílem jejich pořadových čísel.

Jakmile je rozdíl nalezen, lze snadno vypočítat první termín (použijte jeden z prvních dvou výrazů).

Součet algebraické progrese

Další sérií typických úkolů pro postup je nalezení součtu jejich členů. Následující je odpovídající součet algebraické sumy:

S _n = Σ _{i = 1} ⁿ (a _i ) = n * (a ₁ + a _n ) / 2

To znamená, že pro určení součtu prvních termínů n bychom měli vypočítat součet pouze dvou (první a n-té), vynásobit počtem členů n a výsledek rozdělit na polovinu.

Vynecháme matematický důkaz tohoto výrazu, ale stále nám dáváme logický důkaz. Je možné poznamenat, že vzhledem k vlastnostem uvažovaného druhu progrese platí vždy následující rovnost:

a ₁ + a _n = a ₂ + a _n-1

Druhý termín je ve skutečnosti větší než první termín d, ale stejný předposlední (a _n-1 ) je menší než ten poslední ( _n ). V případě dvojice prvků získáme přesně polovinu takových součtů z celkového počtu prvků (n / 2), odkud následuje redukovaná rovnice pro S _n .

Předpokládá se, že známý rys aritmetické progrese byl nejprve založen Karlem Gaussem, slavným matematikem z konce 18. - první poloviny 19. století, kdy v jeho mysli po několik vteřin vypočítal sumu přirozených čísel od jednoho do 100.

Příklady řešení problémů

Zvažte dva příklady algebraické progrese.

1. Je známo, že 9. termín je 7 a 21. je 51. Je třeba najít prvních 5 členů této aritmetické progrese.

Stav problému nám umožňuje okamžitě vypočítat rozdíl d, přičemž použijeme vzorec s _n a _m , který je napsán výše. Máme:

d = (a _n - _m ) / (n - m) = (51 - 7) / (21 - 9) = 3,667

Po obdržení rozdílu d jsme provedli zaokrouhlování na 3 desetinná místa.

Nyní můžete vypočítat první prvek série. Chcete-li to provést, použijte data pro 9 členů:

a ₉ = a ₁ + d * 8 => a ₁ = a ₉ - d * 8 = 7 - 3,667 * 8 = -22,336

Chcete-li tento problém vyřešit, pokračujte v posledním kroku: přidávejte postupně čtyřnásobek hodnoty d prvnímu prvku. Máme:

a ₁ = -22,336;

a ₂ = -22,336 + 3,667 = -18,669;

a ₃ = -18,669 + 3,677 = -15,002;

a ₄ = -15,002 + 3,667 = -11,335;

a ₅ = -11,335 + 3,667 = -7,668

Připomeňme, že všechny vypočtené hodnoty jsou platné až po třetí desetinné místo.

2. Pracovníci skládali pilové kmeny ve formě pyramidy. Je známo, že položili pouze 33 protokolů a až do konce pyramidy chyběly jen 3 protokoly. Je nutné určit, kolik řádů dřevin položilo dělníky.

Odpověď na tuto otázku je řešit algebraický průběh, ale abyste k tomu přistoupili, musíte tuto podmínku pečlivě řešit.

Za prvé, jelikož záznamy se přidávají až k pyramidě, znamená to, že v každém předchozím řádku byl jeden dřívější záznam, to znamená d = 1. Za druhé, jestliže je známo, že před dokončením pyramidy chyběly pouze 3 protokoly, zůstaly dva horní řádky prázdné:

a ₁ = 1, a ₂ = a ₁ + d = 2, a ₁ + a ₂ = 3

Vezmeme tyto tři protokoly v úvahu, přidáme je ke 33 již složeným a určíme neznámé množství řádků n pomocí vzorců pro součet a n-th člen:

S _n = n * (a ₁ + a _n ) / 2; a _n = a ₁ + d * (n - 1) =>

S _n = n * (a ₁ + a ₁ + d * (n - 1)) / 2 = (2 * a ₁ - d) / 2 * n + d * n 2/2

Nahradíme známé údaje do poslední rovnosti a vyřešíme získanou kvadratickou rovnici pro n:

36 = 0,5 * n + 0,5 * n2 nebo

n ² + n - 72 = 0

Diskriminační: D = 1 - 4 * 1 * (-72) = 289

Kořeny: n = (-1 ± 17) / 2 = (8; -9)

Zápornou hodnotu okamžitě odmítneme, protože to odporuje stavu problému. Takže 8 řádků pyramidy bude obsahovat 36 záznamů. Jelikož dělníci nedokončili dvě horní řádky, znamená to, že pouze doplní 6 řady protokolů.

Několik slov o postupu geometrických

Algebraická a geometrická progrese jsou zpravidla považována v rámci jednoho tématu, proto je užitečné poskytnout představu o druhém druhu objednaných číselných řad. Takže geometrický vývoj je řada čísel, která se řídí zákonem:

a _n = a _n-1 * r

To znamená, že na rozdíl od aritmetiky, abychom zde získali všechny prvky, nesmíme přidávat žádné číslo, ale množit se tím (r je nazýván jmenovatelem).

Z definice je zřejmé, že geometrický vývoj roste (klesá) mnohem rychleji než aritmetický.

To je často používáno v geometrii, například při výpočtu plochy čísel pomocí jejich rozdělení na samostatné prvky (způsob dělení v polovině).