Jak vypočítat objem různých geometrických těles?

V průběhu stereometrie je jednou z hlavních otázek, jak vypočítat objem určitého geometrického tělesa. Všechno začíná jednoduchým rovnoběžkem a končí kuličkou.

V životě se také často musí vypořádat s podobnými problémy. Například k výpočtu objemu vody, která je umístěna v kbelíku nebo barelu.

Vlastnosti odpovídají objemu každého těla

1. Tato hodnota je vždy kladné číslo.
2. Pokud může být tělo rozděleno na části tak, aby nebyly žádné průsečíky, pak se celkový objem rovná součtu objemů dílů.
3. Rovné tělesa mají stejný objem.
4. Pokud menší těleso zapadne do většího, pak je objem prvního menšího než druhý.

Obecná notace pro všechny těla

V každém z nich jsou okraje a základny, ve kterých jsou postaveny výšky. Tyto prvky jsou proto pro ně stejně výrazné. Takto jsou napsány ve vzorcích. Jak vypočítat objem každého těla - dozvíme se více a uplatníme nové dovednosti v praxi.

Některé vzorce mají jiné hodnoty. Jejich jmenování bude projednáno, pokud taková potřeba vznikne.

Prism, rovnoběžnost (rovná a šikmá) a krychle

Tato těla jsou kombinována, protože vypadají velmi podobně a vzorce pro výpočet objemu jsou totožné:

V = S ₀ * h.

Pouze S ₀ se liší. V případě rovnoběžnosti se vypočte jako u obdélníku nebo čtverce. V hranolu může být základem trojúhelník, rovnoběžník, libovolný čtyřúhelník nebo jiný mnohoúhelník.

Pro kostku je vzorec výrazně zjednodušený, protože všechny jeho rozměry jsou stejné:

V = a ³ .

Pyramid, tetraedrón, zkrácená pyramida

Pro první z těchto těles existuje takový vzorec pro výpočet objemu:

V = 1/3 * S ₀ * n.

Tetrahedron je zvláštní případ trojúhelníkové pyramidy. Všechny okraje v něm jsou stejné. Proto opět získáme zjednodušený vzorec:

V = (a ³ * √2) / 12 nebo V = _^1/3 S ₀ h

Zkrácená pyramida se stává, když je její horní část odříznuta. Proto je jeho objem rovný rozdílu mezi dvěma pyramidy: ten, který by byl neporušený a vzdálený vrchol. Pokud je možné zjistit obě základy takové pyramidy (S1 je větší a S2 je menší), pak je vhodné použít tento vzorec pro výpočet objemu:

V = 1/3 * h * (S ₁ + √ (S ₁ S ₂ ) + S ₂ ).

Válec, kužel a zkrácený kužel

Pokud chcete vypočítat objemu válce Můžete použít vzorec, který je určen pro hranol. Někdy je vhodné napsat to v této podobě:

V = π * r ² * h.

Situace s kuželem je poněkud komplikovanější. Pro něj existuje vzorec:

V = 1/3 π * r ² * h. Je velmi podobný tomu, který je určen pro válec, pouze hodnota se třikrát sníží.

Stejně jako se zkrácenou pyramidou není situace snadná s kuželem, který má dvě základny. Vzorec pro výpočet objemu zkráceného kužele je následující:

V = 1/3 π * h * (r ₁ ² + r ₁ r ₂ + r ₂ ² ). Zde r1 je poloměr dolní základny, r2 je horní (menší).

Míč, míčové segmenty a sektor

Jedná se o nejobtížněji zapamatovatelné vzorce. Pro objem míče vypadá takto:

V = 4/3 π * r ³ .

V problémech se často vyskytuje otázka, jak vypočítat objem sférického segmentu - část koule, která je řezána paralelně s průměrem. V takovém případě přijde na záchranu následující vzorec:

V = π h ² * (r - h / 3). V tom je pro h určena výška segmentu, tj. Část, která jde podél poloměru míče.

Sektor je rozdělen na dvě části: kužel a segment koulí. Proto je jeho objem definován jako součet těchto těles. Vzorec po transformaci vypadá takto:

V = 2/3 πr ² * h. Zde h je také výška segmentu.

Příklady úkolů

Pro válce, kuličky a kuželky

Stav: průměr válce (1 těleso) se rovná jeho výšce, průměru koule (2 tělo) a výšce kužele (3 tělo); zkontrolujte proporcionalitu objemů V ₁ : V ₂ : V ₃ = 3: 2: 1

Rozhodnutí. Nejprve je třeba napsat tři vzorce pro svazky. Pak zvažte, že poloměr je o polovinu průměru. To znamená, že výška bude rovna dvěma poloměrům: h = 2r. Po provedení jednoduché náhrady se ukázalo, že vzorce pro svazky budou vypadat takto:

V ₁ = 2 π r ³ ; V ₃ = 2/3 π r ³ . Vzorec pro objem míče se nemění, protože se v něm nezobrazuje výška.

Nyní zůstane zapsat objemové vztahy a snížit hodnotu 2π a r3. Ukázalo se, že V ₁ : V ₂ : V ₃ = 1: 2/3: 1/3. Tato čísla snadno vedou k záznamu 3: 2: 1.

Odpověď zní. V ₁ : V ₂ : V ₃ = 3: 2: 1.

O objemu míče

Stav: dva vodní melouny s poloměrem 15 a 20 cm; Jaký je nejvýhodnější způsob, jak jíst: první čtyři nebo druhá druhá?

Rozhodnutí. Chcete-li odpovědět na tuto otázku, musíte najít poměr objemů kusů, které se dostanou od každého melounu. Vzhledem k tomu, že jsou kuličky, je třeba napsat dva vzorce pro svazky. Pak vezměte v úvahu, že od prvního dostanou jen čtvrtou část a od druhé - osmou.

Zbývá zaznamenat poměr objemů dílů. Bude to vypadat takto:

(V ₁ : 4) / (V ₂ : 8) = (1/3 π r ₁ ³ ) / (1/6 π r ₂ ³ ). Po konverzi zůstává pouze frakce: (2 r ₁ ³ ) / r ₂ ³ . Po nahrazení hodnot a výpočtů se získá frakce 6750/8000. Z toho je zřejmé, že část z prvního melounu bude menší než od druhé.

Odpověď zní. Je výhodnější jíst osmou část melounu o poloměru 20 cm.

O objemu pyramidy a krychle

Stav: je jílová pyramida s obdélníkovou základnou 8x9 cm a výškou 9 cm; vyrobili kousek ze stejné hlíny; jaký je jeho okraj?

Rozhodnutí. Pokud označujeme strany obdélníku písmeny v písmenu, pak je oblast základny pyramidy vypočítána jako jejich produkt. Pak vzorec pro jeho objem:

V ₁ = 1/3 * slunce * h.

Vzorec pro objem krychle je uveden v článku výše. Tyto dvě hodnoty jsou stejné: V ₁ = V ₂ . Zbývá srovnávat pravé strany vzorců a provést potřebné výpočty. Ukázalo se, že okraj krychle se bude rovnat 6 cm.

Odpověď zní. a = 6 cm

O objemu rovnoběžnosti

Stav: je nutné vyrobit krabici s kapacitou 0,96 m ³ , její šířka a délka jsou známy - 1,2 a 0,8 m; Jaká by měla být její výška?

Rozhodnutí. Vzhledem k tomu, že základna rovnoběžnosti je obdélník, její oblast je definována jako produkt délky (a) a šířky (c). Proto vzorec pro svazek vypadá takto:

V = a * c * n.

Z ní lze snadno určit výšku rozdělení objemu na plochu. Ukazuje se, že výška by měla být rovna 1 m.

Odpověď zní. Výška krabice je jeden metr.