Kleinová lahvička: vlastnosti a použití

Kleinová láhev je dvourozměrné potrubí, určitý neorientovatelný povrch. Poprvé ho popsal německý matematik Klein v roce 1882. Pokud jste nakrájeli lahev Klein podél osy symetrie v polovině na stejné části, výsledek by byl pás Mobius. Samotné jméno s největší pravděpodobností pochází z nesprávného překladu z německého slova Flache - povrch. Při psaní se toto slovo blíží slovu Flasche - láhev. V budoucnu se tento název v této verzi vrátí do německého jazyka.

Koule dovnitř

Mobius Tape, Klein láhev a heptahedron - to vše je kompletní statický design s vnitřními povrchy. Ve 20. století začali topologové řešit problémy dynamické povahy a první z nich byla inverze sféry. Na rozdíl od výše uvedených obrázků je plocha koule orientována. Jeho vnitřní strana může být namalována modře a vnější - v červené barvě. Pokud po takovém obarvení povrchů měníme jižní a severní póly koule v místech, pohybujeme je podél spojovací osy, koule bude obrácena dovnitř tak, že její vnější povrch změní modrou barvu a vnitřní plocha se změní na červenou barvu. Na celém obvodu rovníku se vytváří záhyb. Ale to není všechno: když tyče procházejí podél osy většinu cesty a vnější povrch koule mění barvu z červené na modrou, pak délka rovníku vytvoří se toroidní povrch, namalovaný zvenku červeně. V důsledku toho polopružná koule ukazuje další zajímavý efekt v topologii - prokládání vnějšího a vnitřního prostoru, protože zvenku se obě strany objevují současně.

Jak postavit model Klein

Nejprve je třeba vzít láhev s otvory ve zdi a na dně a vytáhnout krk, ohýbat ji a projít otvorem ve stěně. Pokud ve čtyřrozměrném prostoru vytvoříte model skutečné láhve, není třeba ve stěně otvory. Ale bez něho se nedá dělat, pokud je model postaven v trojrozměrném eukleidovském prostoru (R3). Pak musí být krk připojen k otvoru ve spodní části. Kleinová lahev, na rozdíl od běžného skla, nemá "okraj", kde povrch končí náhle. Porovnáme-li to s balónem, pak cesta zevnitř směrem ven prochází bez překročení povrchu. Takže ve skutečnosti nemá objekt žádný vnitřní ani vnější povrch.

Kleinová lahvička: aplikace a vlastnosti

Tento objekt, podobně jako pás Mobius, je dvourozměrný diferenciovatelný neorientovatelný rozdělovač. Ale na rozdíl od pásky je Klein láhev kompaktní rozdělovač bez okraje. Pokud na okrajích lemujete dva řady Mobius, dostanete láhev Kleina. Ale to nemůže být provedeno v obvyklém prostoru (R3), aniž by došlo k vytvoření sebepřipojení. Láhev Klein může být pouze ponořena trojrozměrný prostor ale současně může být vložena do čtyřrozměrného prostoru. Tento objekt má chromatický počet šesti ploch.