Paralelní objem: základní vzorce a příklady úkolů

Často se studenti hněvivě ptají: "Jak mohu použít v životě?" Na každý předmět každého předmětu. Problém svazku rovnoběžnosti není výjimkou. A zde můžete jen říct: "Je to užitečné."

Jak například zjistit, zda se balíček vejde do poštovní schránky? Samozřejmě, je možné, že pokusem a omylem zvolíte vhodný. A pokud takovou možnost neexistuje? Pak přijdou výpočty k záchraně. Pokud znáte kapacitu krabice, můžete vypočítat objem balení (alespoň přibližně) a odpovědět na položenou otázku.

Parallelepiped a jeho typy

Pokud doslovně přeložíte jeho jméno z starověkého Řecka, ukáže se, že toto je postava složená z paralelních rovin. Existují takové ekvivalentní definice rovnoběžnosti:

• hranol se základnou ve tvaru rovnoběžníku;
• polyhedron, každý obdélník je rovnoběžník.

Jejich typy vystupují podle toho, která postava leží na jejím podkladu a jak jsou nasměrovány boční hrany. Obecně platí, že hovoří o nakloněném rovnoběžce , jehož podstavec a všechny tváře jsou rovnoběžné. Pokud se v předchozím zobrazení boční plochy stanou obdélníky, pak se bude muset nazývat rovnými čarami . A obdélníkový základ má také úhly 90 °.

Navíc se ty v geometrii pokoušejí vykreslit tak, aby bylo vidět, že všechny hrany jsou paralelní. Zde je mimochodem hlavní rozdíl mezi matematiky a umělci. Nakonec je důležité přenést tělo v souladu se zákonem perspektivy. A v tomto případě je rovnoběžnost žeber zcela neviditelná.

O zadané notaci

Ve vzorcích uvedených níže platí zápis v tabulce.

Vzorce pro šikmé rovnoběžnost

První a druhý pro prostor:

Třetí pro výpočet objemu rovnoběžnosti:

Vzhledem k tomu, že základna je rovnoběžník, pak pro výpočet její plochy potřebujete použít odpovídající výrazy.

Vzorce pro obdélníkový rovnoběžnost

Podobně jako první položka - dvě vzorce pro oblasti:

A ještě jeden pro objem:

První úkol

Stav Vzhledem k pravoúhlému rovnoběžnosti, jehož objem chcete najít. Známé diagonály - 18 cm - a skutečnost, že tvoří úhly 30 a 45 stupňů s rovinou boční stěny a bočním okrajem.

Rozhodnutí. Chcete-li odpovědět na otázku problému, musíte znát všechny strany ve třech pravé trojúhelníky. Poskytují potřebné hodnoty okrajů, které je třeba počítat jako objem.

Nejprve musíte zjistit, kde je úhel 30 °. Chcete-li to provést, musíte nakreslit diagonální stranu bočního obličeje ze stejného vrcholu, odkud byla hlavní úhlopříčka paralelogramu vytažena. Úhel mezi nimi bude to, co je zapotřebí.

Prvním trojúhelníkem, který dá jednu z hodnot stran báze, bude další. Obsahuje požadovanou stranu a dvě diagonálně držené. Je obdélníkový. Nyní musíte použít poměr opačné strany (základní strana) a hypotenze (diagonální). To je stejné jako sinus 30 °. To znamená, že neznámá strana základny bude definována jako úhlopříčka vynásobená sinusem 30 ° nebo ½. Označte jej písmenem "a".

Je snadné počítat: a = 18 * ½ = 9 (cm).

Druhým bude trojúhelník obsahující známou diagonálu a hranu, kterou tvoří 45 °. Je také pravoúhlý a můžete znovu použít vztah nohy k hypotenze. Jinými slovy, boční okraj na diagonále. Je rovna kosinusu 45 °. To znamená, že "c" se vypočítá jako produkt diagonály kosinem 45 °.

c = 18 * 1 / √2 = 9 √2 (cm).

Ve stejném trojúhelníku je třeba najít další nohu. To je nezbytné, aby bylo možné počítat třetí neznámou - "in". Označte jej písmenem "x". Je snadné ji vypočítat podle Pythagorovy věty:

x = √ (18 ² - (9√2) ² ) = 9√2 (cm).

Teď musíme zvážit další správný trojúhelník. Obsahuje již známé strany "s", "x" a ty, které je třeba počítat, "c":

c = √ ((9√2) ² - 9 ² = 9 (cm).

Všechna tři množství jsou známa. Můžete použít vzorec pro hlasitost a počítat ji:

V = 9 * 9 * 9 2 = 729 2 (cm ³ ).

Odpověď: objem rovnoběžnosti je 729 × ² cm ³ .

Druhý úkol

Stav Je nutné najít objem kosočtverce. Jsou známy strany rovnoběžníku, který leží na základně, 3 a 6 cm, stejně jako jeho ostrý úhel - 45 °. Boční okraj má sklon k podstavci 30 ° a je 4 cm.

Rozhodnutí. Chcete-li odpovědět na otázku problému, musíte vzít vzorec, který byl napsán pro objem nakloněného rovnoběžnosti. Ale obě veličiny jsou v ní neznámé.

Plocha základny, tj. Rovnoběžník, bude určena vzorem, ve kterém je třeba vynásobit známé strany a sinus ostrého úhlu mezi nimi.

S ° = 3 * 6 sin 45 ° = 18 * (√2) / 2 = 9 √2 (cm ² ).

Druhým neznámým je výška. Lze jej čerpat z libovolného ze čtyř vrcholů nad základnou. To lze nalézt z pravoúhlého trojúhelníku, ve kterém výška je noha a boční hranou je hypotenuse. Úhel 30 ° leží proti neznámé výšce. Takže můžete použít postoj nohy k hypotenze.

n = 4 * sin 30 ° = 4 * 1/2 = 2.

Nyní jsou známy všechny hodnoty a můžete vypočítat objem:

V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm3).

Odpověď: objem je 18 √2 cm3.

Třetí úkol

Stav Najděte hlasitost rovnoběžnosti, pokud víte, že je rovná. Strany jeho základny tvoří rovnoběžník a jsou 2 a 3 cm. Ostrý úhel mezi nimi je 60 °. Menší úhlopříčka rovnoběžnosti se rovná větší diagonále základny.

Rozhodnutí. Abychom zjistili objem rovnoběžnosti, použijeme vzorec se základnou plochou a výškou. Obě množství nejsou známa, ale nejsou obtížné vypočítat. První je výška.

Vzhledem k tomu, že se menší úhlopříčka rovnoběžnosti skrývá velikost s mohou být označeny jedním písmem d. Větší úhel paralelogramu je 120 °, protože tvoří ostrý 180 °. Nechte druhou úhlopříčku základny označit písmenem "x". Nyní můžete napsat dvě základní úhlopříčky kosinové věty :

d ² = a ² + v ² - 2av cos 120 °,

x ² = a ² + ve ² - 2a cos 60 °.

Hledání hodnot bez čtverců nemá smysl, protože od té doby budou znovu zvednuty k druhé síle. Po načtení dat:

d ² = 2 ² + 3 ² - 2 * 2 * 3 cos 120 ° = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

x ² = a ² + v ² - 2av cos 60 ° = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

Nyní výška, která je bočním okrajem rovnoběžnosti, bude nohou v trojúhelníku. Hypotenze bude známá diagonála těla a druhá noha bude "x". Můžete napsat Pythagorean větu:

n ² = d ² - x ² = 19 - 7 = 12.

Odtud: n = √12 = 2√3 (cm).

Nyní je druhým neznámým množstvím plocha základny. Může se počítat podle vzorce uvedeného ve druhém problému.

S ° = 2 * 3 sin 60 ° = 6 * √3 / 2 = 3√3 (cm ² ).

Kombinováním všeho ve vzorci objemu získáváme:

V = ^{3, 3} * 2, 3 = 18 (cm ³ ).

Odpověď: V = 18 cm ³ .

Čtvrtý úkol

Stav Je třeba znát objem paralelilepku, který splňuje tyto podmínky: základ - čtverec se stranou 5 cm; boční strany jsou kosočtverec; jeden z vrcholů nad základnou je rovnoběžný se všemi vrcholy v základně.

Rozhodnutí. Nejdříve se musí vypořádat s tímto stavem. První odstavec o náměstí nemá žádné otázky. Druhý, o kosočtvercích, jasně ukazuje, že rovnoběžnost je nakloněná. Navíc všechny jeho okraje jsou 5 cm, protože strany kosočtverce jsou stejné. A ze třetí se stane jasné, že tři úhlopříčky, které jsou z něj vytaženy, jsou stejné. Jedná se o dva, které leží na bočních stranách a druhé je uvnitř rovnoběžnosti. Tyto diagonály se rovnají okraji, tzn. Mají také délku 5 cm.

K určení objemu bude zapotřebí vzorec napsaný pro šikmý rovnoběžnost. Opět neexistují žádné známé hodnoty. Plochu základny lze však snadno vypočítat, protože je čtvercová.

S _o = 5 ² = 25 (cm ² ).

Trochu obtížnější je případ s výškou. To bude ve třech číslech: rovnoběžnost, čtverhranná pyramida a rovnoramenný trojúhelník. Poslední okolnost a potřebu využít.

Vzhledem k tomu, že je výška, je nohou v pravém trojúhelníku. Hypotenze v něm bude známou hranou a druhá noha se rovná polovině diagonály čtverce (výška je také medián). A úhlopříčka základny je snadné najít:

d = √ (2 * 5 ² ) = 5 ² (cm).

Bude zapotřebí počítat výšku jako rozdíl druhého stupně okraje a čtverce poloviny diagonály a nezapomeňte je později extrahovat. druhá odmocnina :

n = √ (5 ² - (5/2 * 2) ² ) = √ (25 - 25/2) = √ (25/2) = 2,5 √2 (cm).

Zbývá počítat hlasitost:

V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (cm3).

Odpověď: 62,5 √2 (cm ³ ).