Poincare větu jednoduchými slovy

15. 3. 2019

Jules Henri Poincaré (1854-1912) vedl Pařížskou akademii věd a byl zvolen do vědeckých akademií ve 30 zemích světa. Měl stupnici Leonarda: jeho zájmy se týkaly fyziky, mechaniky, astronomie, filozofie. Matematici celého světa stále říkají, že jenom dva lidé v historii skutečně znal tuto vědu: německý David Gilbert (1862-1943) a Poincare. Poincareova věta

V roce 1904 vědec publikoval článek obsahující mimo jiné i předpoklad nazvaný Poincareova věta. Hledání důkazu o pravdivosti tohoto prohlášení trvalo asi století.

Zakladatelská topologie

Matematický génus Poincaré působí působivě v počtu vědních oborů, kde vyvinul teoretické základy různých procesů a jevů. V době, kdy vědci provedli průlom v nových světech vesmíru av hlubinách atomu, bylo nemožné bez jediného základu obecné teorie vesmíru. Dříve neznámé větve matematiky se staly takovou základnou.

Poincaré hledal nový pohled na nebeskou mechaniku, vytvořil kvalitní teorii diferenciálních rovnic, teorii automorfických funkcí. Výzkumný vědec se stal základem speciální teorie relativity Einstein. Poincareova věta o návratu řekla mimo jiné, že bylo možné porozumět vlastnostem globálních objektů nebo jevů zkoumáním částí a prvků, které tvoří. To dalo silný impuls vědeckému výzkumu ve fyzice, chemii, astronomii atd. Poincare větu jednoduchými slovy

Geometrie je odvětví matematiky, kde se Poincaré stal uznávaným inovátorem a světovým lídrem. Teorie Lobachevského, otevírající nové dimenze a prostory, stále potřebovala jasný a logický model, a Poincaré dal myšlenkám velkého ruského vědce aplikovaný charakter.

Vývoj non-Euclidean geometrie byl vznik topologie - větev matematiky, který byl volán geometrie umístění. Studuje prostorové vztahy bodů, linií, rovin, těles, atd. bez ohledu na jejich metrické vlastnosti. Poincareova věta, která se stala symbolem nejvíce nesnesitelných problémů ve vědě, vznikla právě v hloubkách topologie.

Jeden ze sedmi cílů tisíciletí

Na počátku 21. století vydal jeden z divizí Americké univerzity v Cambridge - matematický institut založený na prostředcích podnikatele Landona T. Claya - seznam problémů tisíciletí (problémy tisíciletí). Obsahovalo sedm bodů z klasických vědeckých problémů, pro řešení každého z nich byla stanovena cena za milion dolarů:

• Rovnost tříd P a NP (korespondence algoritmů pro řešení problému a metody pro kontrolu jejich správnosti).
• Hodgeova hypotéza (o propojení objektů a jejich podobnosti, sestavená pro jejich studium z "cihel" s určitými vlastnostmi).
Poincare hypotéza (každé jednoduše spojené kompaktní trojrozměrné potrubí bez hranic je homeomorfní k trojrozměrné sféře).
• Riemannova hypotéza (o pravidelnosti umísťování primáků).
• Teorie Yang - Mills (rovnice z oblasti elementárních částic, popisující různé typy interakcí).
• Existence a hladkost řešení Navier-Stokesovy rovnice (popis turbulence proudění vzduchu a tekutin).
• Březová - Swinnertonova-Dyerova hypotéza (na rovnicích popisujících eliptické křivky).

Každý problém měl velmi dlouhou historii, hledání jejich řešení vedlo k vzniku zcela nových vědních oborů, ale jediné správné odpovědi na položené otázky nebyly nalezeny. Pochopení lidí říkalo, že peníze Nadace Clay byly bezpečné, ale až do roku 2002 se objevila ta, která dokázala Poincaré větu. Je pravda, že nebral peníze.

Klasické znění

Hypotéza, pro kterou je potvrzení nalezeno, se stává teorémem, který má správný důkaz. To je přesně to, co se stalo s návrhem Poincaré o vlastnostech trojrozměrných sfér. V obecnější podobě tento postulát hovořil o homeomorfismu každé rozmanitosti dimenze n a oblasti dimenze n jako nezbytnou podmínku pro homotopní ekvivalenci. Nyní slavná věta Poincaré se týká varianty, kdy n = 3. Právě v trojrozměrném prostoru matematici čekali na potíže, v jiných případech se důkazy našly rychleji.

Abychom alespoň pochopili smysl Poincaréovy věty, nelze to udělat bez seznámení se se základními pojmy topologie.

Homeomorfismus

Když mluvíme o homeomorfismu, topologie definuje to jako individuální korespondenci mezi body jedné a druhé figury, v jistém smyslu nedělitelnost. Poincareova věta je obtížné dát nepřipravenému. Pro čajníky můžete dát nejpopulárnější příklad homeomorfních postav - koule a kostka, kobliha a kruh jsou také homeomorfní, nikoliv kruh a kostka. Čísla jsou homeomorfní, jestliže jeden obrázek může být získán libovolnou deformací od druhé a tato transformace je omezena některými vlastnostmi povrchu obrázku: nemůže být roztrhaná, propíchnuta, řezána.

Pokud je kostka nahuštěná, může se snadno stát míčem, pokud je míč rozdrcený přicházejícími pohyby, můžete získat kostku. Přítomnost díry v koblihu a díra tvořená kruhovou rukojetí je dělá homeomorfní, stejná díra znemožňuje otočení kruhu na míč nebo kostku.

Připojení

Díra je důležitá koncepce, která definuje vlastnosti objektu, ale kategorie není naprosto matematická. Byla zavedena koncepce konektivity. Obsahuje mnoho topologických postulátů, včetně poincaréské věty. Jednoduše řečeno, můžete říci toto: pokud obalíte povrch míče gumovou kapelou, bude se sklouzávat a plížit. To se nestane, jestliže je díra, jako torus koblihy, přes kterou můžete tuto pásku předat. Tak je určen hlavní znak podobnosti nebo rozdílu objektů.

Rozmanitost

Je-li objekt nebo prostor rozděleny na množinu dílů - okolních částí obklopujících bod - pak se jejich obecnost nazývá rozdělovač. Právě tato koncepce obsahuje větu Poincaré. Kompaktnost znamená konečný počet prvků. Každé jednotlivé okolí se řídí zákony tradiční - euklidovské - geometrie, ale společně tvoří něco složitějšího.

Nejvhodnější analogií těchto kategorií je povrch země. Obraz jeho povrchu je mapa jeho jednotlivých oblastí, shromážděných v atlasu. Na světě jsou tyto obrazy tvaru míče, která se vzhledem k prostoru vesmíru mění na bod.

Trojrozměrná sféra

Podle definice je koule sbírkou bodů, které jsou od středu rovnoběžné - pevný bod. Jednozměrná koule je umístěna ve dvourozměrném prostoru ve formě kruhu v rovině. Dvojrozměrná koule - povrch koule, její "kůra" - sada bodů v trojrozměrném prostoru a tudíž trojrozměrná sféra - jsou podstatou Poincareovy věty - povrchu čtyřrozměrné koule. Je velmi obtížné si představit takový objekt, ale říkají, že jsme uvnitř takového geometrického těla.

Matematici také dávají následující popis trojrozměrné sféry: Předpokládejme, že do našeho obvyklého prostoru, který je považován za neomezený a definovaný třemi souřadnicemi (X, Y, Z), je přidán bod (v nekonečnu) takovým způsobem, že jej lze vždy zadat pohybem směrem v přímce, tj. jakákoli čára v tomto prostoru se stává kruhem. Říká se, že existují lidé, kteří si to mohou představit a klidně se orientovat v takovém světě.

Pro ně je obvyklá věc - trojrozměrný torus. Takový objekt lze získat dvojím opakováním dvou v jednom bodě, umístěných na protilehlých (například pravé a levé, horní a dolní) tváře krychle. Abychom se pokusili představit trojrozměrný torus z našich obvyklých pozic, měli bychom provést absolutně nereálný experiment: je nutné zvolit směr, vzájemně kolmý - nahoru, vlevo a vpřed - a začít se pohybovat v kterékoli z nich v přímce. Po nějakém (konečném) čase z opačného směru se vrátíme k výchozímu bodu.

Takové geometrické tělo má zásadní význam, chcete-li pochopit, co je Poincaré věta. Perelmanův důkaz redukuje na ospravedlnění existence trojrozměrného prostoru pouze jednoho jednoduše připojeného kompaktního rozdělovače - 3-kuliček, jiní, jako 3-torus, nejsou jednoduše spojeni.

Dlouhá cesta k pravdě

Více než půl století prošlo před řešením Poincaré věty pro větší než 3 rozměry se objevily. Steven Smale (1930), John Robert Stelling (1935-2008), Eric Christopher Ziman (nar. 1925) nalezl řešení pro n rovno 5, 6 a rovno nebo větší než 7. Jen v roce 1982 se Michael Friedman ) byla udělena nejvyšší matematická cena - Fields Premium - pro prokázání Poincareovy věty pro složitější případ: když n = 4. Kdo dokázal Poincaré větu V roce 2006 byla tato cena - medaile Fields - udělena ruské matematice z Petrohradu. Gregory Yakovlevich Perelman prokázal Poincaréovu větu o trojrozměrném manifestaci a trojrozměrné sféře. Odmítl obdržet cenu.

Obyčejný génius

Grigory Yakovlevich se narodil 13. června v Leningradu, v inteligentní rodině. Jeho otec, elektrotechnik, šel do Izraele k trvalému pobytu v časných devadesátých letech, jeho matka vyučovala matematiku na odborné škole. Vedle lásky dobré hudby vnášela do svého syna vášeň pro řešení problémů a hádanek. V 9. ročníku se Gregory přestěhoval do Fyzikální a matematické školy č. 239, ale od 5. ročníku navštěvoval matematické centrum v Paláci průkopníků. Vítězství v celoúniových a mezinárodních olympiádách umožnilo Perelmanovi vstoupit na Leningradskou univerzitu bez zkoušek.

Mnozí odborníci, zejména ruští, říkají, že Grigorij Jakovlevič byl připraven na bezprecedentní vzlet vysokou třídou Leningradské školy geometrů, kterou absolvoval na oddělení mechaniky Leningradské státní univerzity a na postgraduální škole Matematického ústavu. V.A. Steklov. Stát se Kandidát věd začal pracovat v něm. Poincareův důkaz věty Těžká doba 90. let přiměla mladého vědce k práci ve Spojených státech. Ti, kteří ho znali, si pak všimli jeho askeze v každodenním životě, věnování se práci, vynikající přípravě a vysokou erudici, která se stala zárukou, že Perelman prokázal Poincarovu větu. Tento problém se po návratu do Petrohradu v roce 1996 podrobně zabýval, ale začal o tom přemýšlet ve Spojených státech.

Správný směr

Gregory Yakovlevich poznamenává, že byl vždy fascinován složitými problémy, jako je věta Poincaré. Perelman začal hledat důkazy ve směru z konverzace s profesorem Richardem Hamiltonem z Kolumbijské univerzity (nar. 1943). Během svého pobytu ve Spojených státech vycestoval z jiného města na přednášky tohoto mimořádného vědce. Perelman zaznamenává vynikající benevolentní postoj profesora mladého matematika z Ruska. V jejich konverzaci se Hamilton zmínil o tom, že Ricci proudí - systém diferenciálních rovnic - jako způsob řešení geometrických věty. Perelman prokázal Poincaréovu větu Následně se Perelman pokusil kontaktovat Hamiltona a diskutovat o průběhu práce na tomto úkolu, ale nedostal odpověď. Po dlouhé době po návratu do své vlasti strávil Grigorij Jákovlev sám s nejtěžším úkolem, kterým je věta Poincaré. Doklad o Perelmanovi je důsledkem nesmírného úsilí a sebezapření.

Hamilton se zastavil, když viděl, že při transformacích křivek, které působí Ricciho proudění, se vytvářejí singulární zóny, které nebyly poskytnuty Poincaréovou větu. Jednoduše řečeno, Perelmanovi se podařilo neutralizovat tvorbu takových zón a rozmanitost se bezpečně změnila ve sféru.

Ricci proudí

Jednoducho spojený trojrozměrný rozdělovač je obdarovaný geometrií, metrické prvky s vzdáleností a úhly jsou zavedeny. To je jednodušší pochopit na jednorozměrných rozdělovačích. Hladká uzavřená křivka na euklidovské rovině je vybavena v každém bodě tangenčním vektorem délky jednotky. Při překročení křivky se vektor otáčí při určité úhlové rychlosti, která určuje zakřivení. Pokud je čára zakřivená, zakřivení je větší. Zakřivení je pozitivní, pokud je vektor rychlosti otočen směrem dovnitř roviny, kterou naše linie rozděluje, a negativní, pokud je otočena směrem ven. V křivkách je zakřivení 0. Podstata Poincaréovy věty

Nyní je každý bod křivky přiřazen vektoru kolmému na vektor. úhlová rychlost a délku rovnou hodnotě zakřivení. Jeho směr je směrem dovnitř s kladným zakřivením a směrem ven s negativním. Každý bod je pohybován ve směru a rychlostí určenou odpovídajícím vektorem. Uzavřená křivka nakreslená kdekoli v rovině, s takovou evolucí se změní v kruh. Platí to pro dimenzi 3, což je to, co bylo nutné prokázat.

Neexistuje žádný prorok ...

Šel do svého Everestu, který je uznáván vědci matematiky Poincaré. Důkaz Perelman zveřejněn na internetu ve formě tří malých článků. Okamžitě vyvolávaly rozruch, ačkoli ruský matematik nechodil do cesty - zveřejnění ve specializovaném časopise doprovázené odbornými recenzemi. Grigory Yakovlevich vysvětlil podstatu svého objevu na amerických univerzitách měsíc, ale počet lidí, kteří plně pochopili jeho myšlení, se velmi pomalu zvedl.

O čtyři roky později se objevil závěr největších autorit: důkazy ruského matematika jsou správné, první problém tisíciletí byl vyřešen.

Éra sociálních sítí

Musel vydržet vzrušení a hrubost ve společenských sítích, ticho těch, které si uvědomil, a výkřiky ostatních, kteří ho naučili život. Energetický Číňan nejprve odhadl, že přispívá k řešení problému na 25%, přičemž počítá s 80 a ostatními! Pak se zdá, že přišlo světové uznání, ale ne každý to dokáže vydržet. Důkaz Poincaréovy věty Chtěl bych uvěřit: vydržel a ve svém životě harmonii túžob a příležitostí.