Jaké potíže čekají na ty, kteří se zavázali provést doplnění kořenů?

Téma čtvercových kořenů je povinné v učebních osnovách matematického kurzu. Bez nich neměli dělat při rozhodování čtvercových rovnic. A později se stává nutností nejen získávat kořeny, ale také provádět s nimi další akce. Mezi nimi jsou poměrně složité: exponentiace násobení a rozdělení. Ale jsou poměrně jednoduché: odčítání a přidávání kořenů. Mimochodem, zdá se na první pohled jen tak. Spuštění bez chyby není vždy snadné pro někoho, kdo se s nimi začíná seznámit.

Co je matematický kořen?

Tato akce vznikla v rozporu s exponentiací. Matematika předpokládá existenci dvou protichůdných operací. K doplnění je odečítáno. Násobení je oponováno dělením. Inverzní mírou je extrakce odpovídajícího kořene.

Pokud je v síti dva, potom bude kořen čtverec. To je nejčastější ve školní matematice. Nemá ani náznak, že je čtvercový, to znamená, že číslo 2 mu není přičítáno. Na obrázku je zobrazen matematický zápis tohoto operátora (radikál).

Z popsané akce hladce sleduje jeho definici. Extrahovat druhá odmocnina z určitého počtu, musíte zjistit, který z nich, když se množíte do sebe, dá radikální výraz. Toto číslo bude odmocnina. Pokud matematicky píšete, dostanete následující: x * x = x ² = y, pak √u = x.

Co s nimi můžete dělat?

V jeho jádru je kořen zlomkový stupeň, ve kterém je v čitateli jednotka. A jmenovatel může být libovolný. Například u odmocniny se rovná dvěma. Proto všechny akce, které lze provést se stupněmi, budou platné pro kořeny.

A požadavky na tyto akce jsou stejné. Pokud násobení, rozdělení a exponentiace studentům nenapadnou potíže, přidání kořenů, stejně jako jejich odčítání, někdy vede ke zmatku. A to vše proto, že chci tyto operace provádět bez ohledu na kořenové znamení. A tady začínají chyby.

Jaké jsou pravidla pro jejich přidání a odečítání?

Nejdříve si musíte pamatovat dva kategorické "ne":

• nepřidávejte a nepoužívejte kořeny, jako je primární čísla to znamená, že není možné psát radikální výrazy s jediným znamením a provádět matematické operace s nimi;
• nelze přidat a odčítat kořeny s různými indikátory, například čtvercovými a krychlovými.

Dobrým příkladem prvního zákazu: √6 + √10 ≠ 16, ale √ (6 + 10) = √16 .

Ve druhém případě je lepší se omezit na zjednodušení samotných kořenů. A v odpovědi zanechat jejich částku.

Nyní k pravidlům

1. Najít a seskupit podobné kořeny. To znamená, že ti, kteří mají pod radikonem jen tolik čísel, mají samy stejný ukazatel.
2. Chcete-li provést přidání kořenů, spojených do jedné skupiny první akce. Je snadné jej implementovat, protože stačí přidat hodnoty, které stojí před radikály.
3. Extrahujte kořeny v těch termínech, ve kterých radikální výraz tvoří celé čtverec. Jinými slovy, nenechávejte nic pod znamením radikálů.
4. Zjednodušte výraz. Chcete-li to provést, musíte je rozložit na primární faktory a zjistit, zda nebudou dát čtvereček libovolného čísla. Je zřejmé, že je to pravda, pokud jde o druhou odmocninu. Když je exponent tři nebo čtyři, pak primární faktory by měly dát kostku nebo čtvrtou sílu čísla.
5. Odstraňte z násobitele radikálních značek, který dává celý stupeň.
6. Zjistěte, zda se podobné výrazy objeví znovu. Pokud ano, proveďte druhou akci znovu.

V situaci, kdy úkol nevyžaduje přesnou hodnotu kořenu, lze jej vypočítat na kalkulači. Nekonečný desetinný zlomek, který bude zobrazen ve svém okně, je kulatý. Nejčastěji se to děje na stotinu. A pak proveďte všechny operace desetinné zlomky.

Doporučení: po rozložení na primární faktory je třeba zkontrolovat. To znamená, že je násobit jeden na druhého a zkontrolovat, zda byla získána původní hodnota.

Toto jsou informace o způsobu přidávání kořenů. Níže uvedené příklady ilustrují výše uvedené.

První úkol

Vypočítat hodnotu výrazů:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

Rozhodnutí.

a) Pokud se budete řídit výše uvedeným algoritmem, je zřejmé, že pro první dvě akce v tomto příkladu není nic. Ale můžete zjednodušit některé radikální výrazy.

Například 32 se rozkládá na dva faktory 2 a 16; 18 bude rovno produkci 9 a 2; 128 je 2 x 64. Vzhledem k tomu bude tento výraz zapsán takto:

√2 + 3√ (2 * 16) + ½ √ (2 * 64) - 6 √ (2 * 9).

Teď musíme z radikálního znamení odstranit ty faktory, které udávají čtverec čísla. Toto je 16 = 4 ² , 9 = 3 ² , 64 = 8 ² . Výraz bude vypadat takto:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Potřebujete trochu jednodušší psát. Chcete-li to provést, násobte koeficienty před kořenovými znaky:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

V tomto výrazu se všechny podmínky ukázaly jako podobné. Proto je prostě třeba skládat. Odpověď bude: 5√2.

b) Stejně jako v předchozím příkladu začíná přidávání kořenů jejich zjednodušením. Radikální výrazy 75, 147, 48 a 300 budou reprezentovány následujícími páry: 5 a 25, 3 a 49, 3 a 16, 3 a 100. Každá z nich má číslo, které lze odstranit z kořenového znamení:

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Po zjednodušení dostaneme odpověď: 5√5 - 5√3. Může být ponechán v této podobě, ale je lepší vyloučit společný faktor 5 pro skupinu: 5 (√5 - √3).

c) A opět factoring: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Po odstranění faktorů z kořenové značky získáváme:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Po předložení těchto podmínek získáme výsledek: 7√11.

Příklad s částečnými výrazy

√ (45/4) - √20 - 5√ (1/18) - 1/6 √245 + √ (49/2).

Faktory budou muset rozdělit následující čísla: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Podobně jako u již uvažovaných je třeba odstranit faktory z kořenové značky a zjednodušit výraz:

3/2 √5 - 2√5 - 5/3 √ (½) - 7/6 √5 + 7 √ (½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √ (½) = - 5/3 √5 + 16/3 √ (½).

Tento výraz vyžaduje zbavit se iracionality v jmenovateli. Chcete-li to provést, vynásobte √2 / √2 druhým pojmem:

- 5/3 √5 + 16/3 √ (½) * √2 / √2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

Pro úplnost akce je nutné vybrat celou část faktorů před kořeny. V prvním se rovná 1, ve druhém - 2.