Vlastnosti řešení problémů při určování rychlosti řeky. Příklady řešení
Jeden z fascinujících problémů v matematice a fyzice, který učitel navrhuje řešit školním dětem, je problém určení rychlosti toku řeky. V tomto článku budeme zvažovat rysy řešení těchto problémů a poskytneme některé konkrétní příklady.
Jaké úkoly se budou diskutovat?
Každý ví, že voda v řece má určitý průtok. Plošné řeky (Don, Volga) tečou poměrně pomalu, zatímco malé horské řeky se vyznačují silným proudem a přítomností vodních nálevů. Jakýkoliv plovoucí předmět, který je hozen do řeky, se bude od pozorovatele pohybovat rychlostí toku řeky.
Lidé, kteří se koupali v řece, vědí, že je velmi obtížné plavat proti svému proudu. Chcete-li přesunout několik metrů, musíte vynaložit mnohem větší úsilí, než když se pohybujete ve stojaté vodě jezera. Naopak tok se provádí prakticky bez spotřeby energie. Stačilo tělo udržet nad vodou.
Všechny tyto rysy nám umožňují učinit následující důležité závěry: jestliže tělo, které má rychlost v klidné vodě se pohybuje v korytě řeky, pak jeho rychlost ve vztahu k pobřeží bude rovna:
- v + u pro průtok;
- v - u pro pohyb proti proudu.
Zde u je průtok.
Pokud se tělo pohybuje pod určitým úhlem k průtoku, výsledný vektor jeho rychlosti bude rovný součtu vektorů v ¯ a u ¯.
Vzory na zapamatování
Kromě výše uvedených informací by při řešení problémů rychlosti řeky mělo být zapotřebí pamatovat na několik vzorců. Seznamujeme je.
Rychlost proudu je konstantní hodnota, ale rychlost v těle (člun, člun, plavec) v obecném případě se může lišit jak ve velikosti, tak ve směru. Pro rovnoměrný přímočarý pohyb je platný následující vzorec:
S = v * t
Kde S je ujetá vzdálenost, v je rychlost pohybu těla. Pokud k pohybu dojde s akcelerací a, pak by měl být použit vzorec:
S = a * t 2/2
Navíc k těmto vzorcům bychom měli úspěšně vyřešit problémy, kdy bychom měli při rozkládání vektorů rychlosti na součásti používat trigonometrické funkce.
Nyní se obracíme k řešení konkrétních problémů.
Úkol s loďkou a rybářem
Jeden rybář se rozhodl jet na lodi bez motoru proti proudu řeky na vzdálenost 2 kilometrů. Ve stojaté vodě by tuto vzdálenost za 30 minut pokryl, ale když šel po řece, potřeboval celou hodinu. Je třeba zjistit, jaký je průtok řeky.
Vzhledem k tomu, že rychlost vody v řece je neznámá, označíme ji písmenem x. Rychlost lodi je také neznámá, ale lze ji vypočítat pomocí hodnot z podmínek pro pohyb v klidné vodě. Získejte rychlosti v lodích:
v = S / t 1 = 2 / 0,5 = 4 km / h
Našli jsme rychlost, s jakou se rybář na lodi může pohybovat po klidném jezeře. Chcete-li zjistit rychlost člunu proti proudu, je nutné odečíst hodnotu x od nalezené hodnoty. Potom, abychom vyšli do řeky, můžeme napsat následující rovnici:
S = (4-x) * t2
Vyjádřete od nás hodnotu neznámého parametru:
x = 4 - S / t 2
Zbývá nahradit čísla z stavu problému a zaznamenat odpověď:
x = 4 - S / t 2 = 4 - 2/1 = 2 km / h
Rychlost proudění v řece je tedy polovina lodi.
Úkol s motorovým člunem
Motorový člun provádí každodenní přechody na řece od bodu A do bodu B. Vzdálenost mezi A a B je 7 km. Je známo, že rychlost lodi po proudu je 8 km / h. Jaká je rychlost proudu, jestliže loď tráví 10 minut více času na cestě dolů než při pohybu nahoru?
V tomto případě nepoznáme ani rychlost motorového člunu, ani rychlost řeky. Označte první jako y a druhý jako x. Pak můžete napsat následující čtyři rovnice:
x + y = 8;
S / t 1 = x + y;
S / t 2 = y-x;
t 2 - t 1 = 1/6
První rovnice odráží rychlost lodi po proudu, druhá a třetí rovnice se týkají času a rychlosti při pohybu dolů a nahoru řeky, resp. Čtvrtá rovnice vyplývá ze stavu problému časového rozdílu mezi dopřednými a reverzními cestami mezi body A a B.
Nejprve nalezneme z těchto rovnic čas t 1 a t 2 :
t 1 = 7/8 = 0,875 h;
t 2 = 1/6 + 7/8 = 1,0417 h
Pro stanovení rychlosti x vody v řece odečteme třetí rovnici od druhé, dostaneme:
S / t 1 - S / t 2 = 2 * x =>
x = S / 2 * (1 / t 1 - 1 / t 2 )
Nahradením vypočtených hodnot t 1 a t 2 do této rovnosti stejně jako vzdáleností mezi body S vidíme, že voda v řece proudí rychlostí 0,64 km / h.
Úloha: pohyb lodi v úhlu k proudu
Nyní řešíme problém, který vyžaduje schopnost používat trigonometrické vzorce.
Loď se začala pohybovat od jednoho břehu řeky k druhému pod úhlem 60 ° k proudu. Rychlost člunu v klidné vodě je 10 km / h. Rychlost proudu je 2 km / h. Je třeba určit, jak daleko se bude loď pohybovat po pobřeží a dorazí na opačné straně řeky. Šířka koryta je 500 metrů.
Tento úkol by měl být řešen tím, že cesta člunu prolomila na dvě části: kolmá a rovnoběžná s pobřežím. Pomocí dat úlohy můžete pro kolmou součást cesty psát výraz:
v * sin (60 o ) * t = S 1
Kde v je rychlost člunu, S 1 je šířka řeky. Při nahrazení dat najdeme čas, kdy byla loď na cestě:
t = S1 / (v * sin (60 ° )) = 0,0577 h
Pro výpočet cesty S 2 rovnoběžné s pobřežím by měla být rychlost proudění přidána k horizontálnímu projevu rychlosti člunu, pak odpovídající rovnost bude:
S 2 = (v * cos (60 o ) + 2) * t
Při nahrazení známých hodnot získáváme odpověď: loď podél pobřeží bude cestovat 404 metrů.