Od počátku století XVI-XVIII se matematici začali intenzivně zabývat funkcemi, kvůli kterým se v našem životě tolik změnilo. Počítačová technologie bez těchto znalostí by prostě neexistovala. Pro řešení složitých problémů byly vytvořeny lineární rovnice a funkce, vytvořeny různé pojmy, teorie a metody řešení. Jednou z takových univerzálních a racionálních metod a metod pro řešení lineárních rovnic a jejich systémů byla Gaussova metoda. Matrice, jejich hodnost, determinant - vše lze vypočítat bez použití složitých operací.
V matematice existuje koncept SLAE - systém lineárních algebraických rovnic. Co je ona? Jedná se o množinu m rovnic s neznámymi neznámými proměnnými n, obvykle označovanými jako x, y, z nebo x 1 , x 2 ... x n nebo jinými symboly. Řešení tohoto systému pomocí Gaussovy metody znamená nalezení všech neznámých neznámých. Má-li systém stejný počet neznámých a rovnic, nazývá se systém n-pořadí.
Ve vzdělávacích institucích sekundárního vzdělávání studují různé metody řešení těchto systémů. Nejčastěji se jedná o jednoduché rovnice sestávající ze dvou neznámých, takže žádná existující metoda pro nalezení odpovědi na ně nebude trvat dlouho. To může být substituční metoda, jestliže jiný je odvozen z jedné rovnice a nahrazen do původní. Nebo metoda termínu odečítáním a přidáním. Gaussova metoda je však považována za nejjednodušší a univerzálnější. Umožňuje vyřešit rovnice libovolným počtem neznámých. Proč je tato technika považována za racionální? Je to jednoduché. Metoda matice je dobrá, protože není zapotřebí přepisovat nepotřebné znaky několikrát jako neznámé, postačí provádět aritmetické operace s koeficienty - a dostanete spolehlivý výsledek.
Řešením SLAE jsou průsečíky řádků na grafech funkcí. V našem high-tech věku počítače, lidé, kteří jsou úzce spojeni s vývojem her a jiných programů, musí vědět, jak řešit takové systémy, co reprezentují a jak kontrolovat správnost získaných výsledků. Nejčastěji programátoři vyvíjejí speciální počítačové programy pro lineární algebra, a to zahrnuje systém lineárních rovnic. Gaussova metoda vám umožňuje vypočítat všechna existující řešení. Používají se také další zjednodušené vzorce a techniky.
Takový systém lze vyřešit pouze v případě, že je kompatibilní. Pro jasnost reprezentujeme SLAE jako Ax = b. Má řešení, pokud je (A) rovnocenná (A, b). V tomto případě (A, b) je matrice rozšířeného typu, kterou lze získat z matice A přepisem volných členů. Ukázalo se, že vyřešit lineární rovnice Gaussova metoda je poměrně snadná.
Snad nějaká notace není zcela jasná, takže je třeba se podívat na všechno s příkladem. Předpokládejme, že existuje systém: x + y = 1; 2x-3y = 6. Skládá se pouze ze dvou rovnic, ve kterých 2 nejsou známy. Systém bude mít řešení pouze tehdy, pokud se jeho matice rovná stupni rozšířené matice. Jaká je pozice? Jedná se o počet nezávislých řádků systému. V našem případě je matice matice 2. Matrice A bude tvořena koeficienty umístěnými v blízkosti neznámých a koeficienty za znakem "=" se také vejde do rozšířené matice.
Na základě kritéria kompatibility podle prokázané věty Kronecker-Capelliho může být systém lineárních algebraických rovnic zastoupen v maticové formě. Pomocí kaskádové metody Gauss můžete vyřešit matici a získat jediný spolehlivý výsledek pro celý systém. Pokud se hodnost řádné matice rovná stupni její rozšířené matice, ale je menší než počet neznámých, má systém nekonečný počet odpovědí.
Předtím, než přistoupíme k řešení matric, je nutné vědět, jaké kroky je možné provádět na jejich prvcích. Existuje několik elementárních transformací:
Podstata řešení lineárních homogenních a nehomogenních rovnic Gaussovou metodou je postupně eliminovat neznámé. Předpokládejme, že máme systém dvou rovnic, ve kterých jsou dvě neznámé. Chcete-li je najít, musíte zkontrolovat kompatibilitu systému. Rovnice Gaussova metoda je řešena velmi jednoduše. Je třeba zapsat koeficienty umístěné v blízkosti každého neznámého v maticovém zobrazení. Chcete-li vyřešit systém, budete muset zapsat rozšířenou matici. Pokud jedna z rovnic obsahuje menší počet neznámých, je nutné místo chybějícího prvku umístit "0". Všechny známé metody transformace se aplikují na matici: násobení, dělení podle počtu, přidání odpovídajících prvků řádků mezi sebou a dalších. Ukazuje se, že v každém řádku je nutné ponechat jednu proměnnou s hodnotou "1", zbytek vede k nulové formě. Pro přesnější pochopení je třeba brát v úvahu Gaussovu metodu s příklady.
Nejprve přijmeme jednoduchý systém algebraických rovnic, v němž budou 2 neznámá.
Přepsat do rozšířené matice.
Pro řešení tohoto systému lineárních rovnic je nutné provést pouze dvě operace. Musíme přenést matici do kanonické podoby tak, aby jednotky stály podél hlavní diagonály. Takže převedením z maticového pohledu zpět na systém získáváme rovnice: 1x + 0y = b1 a 0x + 1y = b2, kde b1 a b2 jsou výsledné odpovědi v procesu řešení.
Jak můžete vidět, náš systém je řešen metodou Jordan-Gauss. Přepisujeme jej do požadované formy: x = -5, y = 7.
Předpokládejme, že máme složitější systém lineárních rovnic. Gaussova metoda umožňuje vypočítat odpověď i pro zdánlivě matoucí systém. Proto, abychom získali hlubší pohled na výpočetní metodu, lze se přesunout k složitějšímu příkladu se třemi neznámymi.
Stejně jako v předchozím příkladu přepíšeme systém ve formě rozšířené matice a začneme ji zmenšovat do kanonické podoby.
Chcete-li vyřešit tento systém, budete muset podniknout mnohem více kroků než v předchozím příkladu.
Jak můžete vidět, řešení rovnic Gaussovou metodou je poměrně jednoduché.
Některé složitější systémy rovnic mohou být řešeny Gaussovou metodou pomocí počítačových programů. Je nutné do stávajících prázdných buněk přenést koeficienty s neznámými a samotný program postupně vypočítá potřebný výsledek a podrobně popisuje jednotlivé akce.
Níže je podrobný návod k vyřešení takového příkladu.
• V prvním kroku se volné koeficienty a čísla s neznámými hodnotami zaplňují do prázdných buněk. Objevuje se tedy stejná rozšířená matice, kterou píšeme ručně.
• Dále jsou všechny čáry obráceny tak, že elementy mohou být vyjádřeny podél hlavní diagonály.
• A provedou se všechny potřebné aritmetické operace, aby se rozšířená matice dostala do kanonické podoby. Mělo by být zřejmé, že odpověď na systém rovnic není vždy stejná - jsou celá čísla. Někdy může být řešení z částečných čísel.
Metoda Jordan-Gauss umožňuje ověřit správnost výsledku. Abychom zjistili, zda jsou koeficienty správně vypočteny, je nutné pouze nahradit výsledek v původním systému rovnic. Levá strana rovnice musí odpovídat pravé straně, která je za znaménkem rovnosti. Pokud se odpovědi neodpovídají, je třeba systém znovu vypočítat nebo pokusit se o něj použít jiný způsob řešení známého SLAE, jako je nahrazení nebo termické odečítání a přidání. Koneckonců, matematika je věda, která má obrovské množství různých řešení. Nezapomeňte však, že výsledek musí být vždy stejný, bez ohledu na to, jakou metodu jste použili.
Při řešení lineárních systémů rovnic se nejčastěji vyskytují chyby, jako je nesprávný přenos koeficientů na matici. Existují systémy, v nichž některé neznámá chybí v jedné z rovnic, a pak, přenášení dat do rozšířené matice, mohou být ztraceny. Výsledkem je, že při řešení tohoto systému nemusí výsledek odpovídat skutečnému výsledku.
Dalším z hlavních chyb může být nesprávné psaní konečného výsledku. Je nutné jasně pochopit, že první koeficient bude odpovídat prvnímu neznámému ze systému, druhému druhému a tomu druhému.
Gaussova metoda podrobně popisuje řešení lineárních rovnic. Díky němu je snadné provést potřebné operace a najít správný výsledek. Navíc je univerzálním nástrojem pro nalezení spolehlivé odpovědi na rovnice jakékoliv složitosti. Možná to je důvod, proč se tak často používá při řešení SLAE.