Gaussova metoda pro řešení matric. Řešení systému lineárních rovnic Gaussovou metodou

24. 3. 2019

Od počátku století XVI-XVIII se matematici začali intenzivně zabývat funkcemi, kvůli kterým se v našem životě tolik změnilo. Počítačová technologie bez těchto znalostí by prostě neexistovala. Pro řešení složitých problémů byly vytvořeny lineární rovnice a funkce, vytvořeny různé pojmy, teorie a metody řešení. Jednou z takových univerzálních a racionálních metod a metod pro řešení lineárních rovnic a jejich systémů byla Gaussova metoda. Matrice, jejich hodnost, determinant - vše lze vypočítat bez použití složitých operací.

Co je slau

V matematice existuje koncept SLAE - systém lineárních algebraických rovnic. Co je ona? Jedná se o množinu m rovnic s neznámymi neznámými proměnnými n, obvykle označovanými jako x, y, z nebo x 1 , x 2 ... x n nebo jinými symboly. Řešení tohoto systému pomocí Gaussovy metody znamená nalezení všech neznámých neznámých. Má-li systém stejný počet neznámých a rovnic, nazývá se systém n-pořadí.

Nejpopulárnější metody pro řešení slafů

Ve vzdělávacích institucích sekundárního vzdělávání studují různé metody řešení těchto systémů. Nejčastěji se jedná o jednoduché rovnice sestávající ze dvou neznámých, takže žádná existující metoda pro nalezení odpovědi na ně nebude trvat dlouho. To může být substituční metoda, jestliže jiný je odvozen z jedné rovnice a nahrazen do původní. Nebo metoda termínu odečítáním a přidáním. Gaussova metoda je však považována za nejjednodušší a univerzálnější. Umožňuje vyřešit rovnice libovolným počtem neznámých. Proč je tato technika považována za racionální? Je to jednoduché. Metoda matice je dobrá, protože není zapotřebí přepisovat nepotřebné znaky několikrát jako neznámé, postačí provádět aritmetické operace s koeficienty - a dostanete spolehlivý výsledek.

Kde se SLAE používají v praxi

Řešením SLAE jsou průsečíky řádků na grafech funkcí. V našem high-tech věku počítače, lidé, kteří jsou úzce spojeni s vývojem her a jiných programů, musí vědět, jak řešit takové systémy, co reprezentují a jak kontrolovat správnost získaných výsledků. Nejčastěji programátoři vyvíjejí speciální počítačové programy pro lineární algebra, a to zahrnuje systém lineárních rovnic. Gaussova metoda vám umožňuje vypočítat všechna existující řešení. Používají se také další zjednodušené vzorce a techniky.

Kritérium kompatibility SLAU

Takový systém lze vyřešit pouze v případě, že je kompatibilní. Pro jasnost reprezentujeme SLAE jako Ax = b. Má řešení, pokud je (A) rovnocenná (A, b). V tomto případě (A, b) je matrice rozšířeného typu, kterou lze získat z matice A přepisem volných členů. Ukázalo se, že vyřešit lineární rovnice Gaussova metoda je poměrně snadná.

Snad nějaká notace není zcela jasná, takže je třeba se podívat na všechno s příkladem. Předpokládejme, že existuje systém: x + y = 1; 2x-3y = 6. Skládá se pouze ze dvou rovnic, ve kterých 2 nejsou známy. Systém bude mít řešení pouze tehdy, pokud se jeho matice rovná stupni rozšířené matice. Jaká je pozice? Jedná se o počet nezávislých řádků systému. V našem případě je matice matice 2. Matrice A bude tvořena koeficienty umístěnými v blízkosti neznámých a koeficienty za znakem "=" se také vejde do rozšířené matice.

Proč lze SLAE reprezentovat ve formě matice

Na základě kritéria kompatibility podle prokázané věty Kronecker-Capelliho může být systém lineárních algebraických rovnic zastoupen v maticové formě. Pomocí kaskádové metody Gauss můžete vyřešit matici a získat jediný spolehlivý výsledek pro celý systém. Pokud se hodnost řádné matice rovná stupni její rozšířené matice, ale je menší než počet neznámých, má systém nekonečný počet odpovědí.

Matrixové transformace

Předtím, než přistoupíme k řešení matric, je nutné vědět, jaké kroky je možné provádět na jejich prvcích. Existuje několik elementárních transformací:

  • Přepsáním systému do maticového pohledu a implementací jeho řešení je možné všechny prvky řádku vynásobit stejným koeficientem.
  • Chcete-li převést matici do kanonické podoby, můžete vyměnit dva paralelní řádky. Kánonická forma znamená, že všechny prvky matice, které se nacházejí na hlavní diagonále, se stávají jednotkami a zbývajícími - nulami.
  • Odpovídající prvky paralelních řad matice mohou být přidány jedna k druhé.

Jordánsko-Gaussova metoda

Podstata řešení lineárních homogenních a nehomogenních rovnic Gaussovou metodou je postupně eliminovat neznámé. Předpokládejme, že máme systém dvou rovnic, ve kterých jsou dvě neznámé. Chcete-li je najít, musíte zkontrolovat kompatibilitu systému. Rovnice Gaussova metoda je řešena velmi jednoduše. Je třeba zapsat koeficienty umístěné v blízkosti každého neznámého v maticovém zobrazení. Chcete-li vyřešit systém, budete muset zapsat rozšířenou matici. Pokud jedna z rovnic obsahuje menší počet neznámých, je nutné místo chybějícího prvku umístit "0". Všechny známé metody transformace se aplikují na matici: násobení, dělení podle počtu, přidání odpovídajících prvků řádků mezi sebou a dalších. Ukazuje se, že v každém řádku je nutné ponechat jednu proměnnou s hodnotou "1", zbytek vede k nulové formě. Pro přesnější pochopení je třeba brát v úvahu Gaussovu metodu s příklady.

Jednoduchý příklad řešení systému 2x2.

Nejprve přijmeme jednoduchý systém algebraických rovnic, v němž budou 2 neznámá.

gaussova metoda

Přepsat do rozšířené matice.

metoda jordan gauss

Pro řešení tohoto systému lineárních rovnic je nutné provést pouze dvě operace. Musíme přenést matici do kanonické podoby tak, aby jednotky stály podél hlavní diagonály. Takže převedením z maticového pohledu zpět na systém získáváme rovnice: 1x + 0y = b1 a 0x + 1y = b2, kde b1 a b2 jsou výsledné odpovědi v procesu řešení.

metoda lineární rovnice systému gauss

  1. Prvním krokem při řešení rozšířené matice bude: první řádek musí být násoben číslem -7 a příslušné prvky přidány do druhého řádku, aby se zbavil jednoho neznámého ve druhé rovnici.
  2. Protože řešení rovnic Gaussovou metodou znamená redukci matrice na kanonickou formu, je nutné provést stejné operace s první rovnicí a odstranit druhou proměnnou. Chcete-li to provést, odečteme druhý řádek od prvního řádku a získáte potřebnou odpověď - řešení SLAU. Nebo, jak je znázorněno na obrázku, druhý řádek je vynásoben koeficientem -1 a prvky druhého řádku jsou přidány k prvnímu řádku. To je totéž.

Jak můžete vidět, náš systém je řešen metodou Jordan-Gauss. Přepisujeme jej do požadované formy: x = -5, y = 7.

Příklad řešení 3x3 SLAE

Předpokládejme, že máme složitější systém lineárních rovnic. Gaussova metoda umožňuje vypočítat odpověď i pro zdánlivě matoucí systém. Proto, abychom získali hlubší pohled na výpočetní metodu, lze se přesunout k složitějšímu příkladu se třemi neznámymi.

lineární rovnice metodou gauss

Stejně jako v předchozím příkladu přepíšeme systém ve formě rozšířené matice a začneme ji zmenšovat do kanonické podoby.

Gaussova řešení rovnic

Chcete-li vyřešit tento systém, budete muset podniknout mnohem více kroků než v předchozím příkladu.

řešit gauss

  1. Nejprve musíte v prvním sloupci vytvořit jeden prvek jednotky a zbývající nuly. K tomu vynásobte první rovnici za -1 a přidejte k ní druhou rovnici. Je důležité si uvědomit, že první řádek přepsáme v původní podobě a druhý v modifikované.
  2. Dále odstraňte stejný první neznámý ze třetí rovnice. K tomu se prvky prvního řádku násobí číslem -2 a přidávají je do třetího řádku. Nyní jsou první a druhý řádek přepsány v původní podobě a třetí - již se změnami. Jak lze vidět z výsledku, získali jsme první jednotku na začátku hlavní diagonály matice a zbývajících nula. Některé další akce a systém rovnic Gaussovou metodou bude spolehlivě vyřešen.
  3. Nyní je nutné provést operace na jiných prvcích řádků. Třetí a čtvrtá akce lze kombinovat do jednoho. Je nutné rozdělit druhý a třetí řádek o -1, aby se zbavili negativních jednotek diagonálně. Třetí řádek jsme již vedli k nezbytné formě.
  4. Dále přivedeme druhý řádek do kanonické podoby. K tomu vynásobíme prvky třetího řádku o -3 a přidáme je do druhého řádku matice. Výsledkem je, že druhý řádek je také redukován na požadovanou formu. Zbývá ještě několik operací a odstraníme koeficienty neznámých z prvního řádku.
  5. Aby bylo možné vytvořit 0 z druhého prvku řádku, je nutné vynásobit třetí řádek o -3 a přidat ho do prvního řádku.
  6. Dalším důležitým krokem bude doplnění prvního řádku o potřebné prvky druhého řádku. Takže dostáváme kanonickou podobu matice, a tedy i odpověď.

Jak můžete vidět, řešení rovnic Gaussovou metodou je poměrně jednoduché.

Příklad řešení 4x4 systému rovnic

Některé složitější systémy rovnic mohou být řešeny Gaussovou metodou pomocí počítačových programů. Je nutné do stávajících prázdných buněk přenést koeficienty s neznámými a samotný program postupně vypočítá potřebný výsledek a podrobně popisuje jednotlivé akce.

gaussovou metodou

Níže je podrobný návod k vyřešení takového příkladu.

• V prvním kroku se volné koeficienty a čísla s neznámými hodnotami zaplňují do prázdných buněk. Objevuje se tedy stejná rozšířená matice, kterou píšeme ručně.

• Dále jsou všechny čáry obráceny tak, že elementy mohou být vyjádřeny podél hlavní diagonály.

• A provedou se všechny potřebné aritmetické operace, aby se rozšířená matice dostala do kanonické podoby. Mělo by být zřejmé, že odpověď na systém rovnic není vždy stejná - jsou celá čísla. Někdy může být řešení z částečných čísel.

Ověřovací řešení

Metoda Jordan-Gauss umožňuje ověřit správnost výsledku. Abychom zjistili, zda jsou koeficienty správně vypočteny, je nutné pouze nahradit výsledek v původním systému rovnic. Levá strana rovnice musí odpovídat pravé straně, která je za znaménkem rovnosti. Pokud se odpovědi neodpovídají, je třeba systém znovu vypočítat nebo pokusit se o něj použít jiný způsob řešení známého SLAE, jako je nahrazení nebo termické odečítání a přidání. Koneckonců, matematika je věda, která má obrovské množství různých řešení. Nezapomeňte však, že výsledek musí být vždy stejný, bez ohledu na to, jakou metodu jste použili.

Metoda Gauss: Nejčastější chyby při řešení SLAE

Při řešení lineárních systémů rovnic se nejčastěji vyskytují chyby, jako je nesprávný přenos koeficientů na matici. Existují systémy, v nichž některé neznámá chybí v jedné z rovnic, a pak, přenášení dat do rozšířené matice, mohou být ztraceny. Výsledkem je, že při řešení tohoto systému nemusí výsledek odpovídat skutečnému výsledku.

Dalším z hlavních chyb může být nesprávné psaní konečného výsledku. Je nutné jasně pochopit, že první koeficient bude odpovídat prvnímu neznámému ze systému, druhému druhému a tomu druhému.

Gaussova metoda podrobně popisuje řešení lineárních rovnic. Díky němu je snadné provést potřebné operace a najít správný výsledek. Navíc je univerzálním nástrojem pro nalezení spolehlivé odpovědi na rovnice jakékoliv složitosti. Možná to je důvod, proč se tak často používá při řešení SLAE.