Teorie pravděpodobnosti: vzorce a příklady řešení problémů

"Nehody nejsou náhodné" ... Zní to, jako by to filozof řekl, ale ve skutečnosti, studovat náhodnost je spousta velkých věd matematiky. V matematice se teorie pravděpodobnosti zabývá náhodností. Formuláře a příklady úkolů, jakož i základní definice této vědy budou uvedeny v článku.

Co je teorie pravděpodobnosti?

Teorie pravděpodobnosti je jednou z matematických disciplín, která studuje náhodné události.

Aby to bylo trochu jasnější, dejte nám malý příklad: pokud hodíte minci, může padnout "orlicí" nebo "ocásky". Zatímco mince je ve vzduchu, obě tyto pravděpodobnosti jsou možné. To znamená, že pravděpodobnost možných následků je 1: 1. Pokud se z balíčku s 36 kartami vytáhne jedna, pravděpodobnost bude označena jako 1:36. Zdá se, že neexistuje nic prozkoumat a předvídat, zvláště pomocí matematických vzorců. Pokud opakujete určitou akci mnohokrát, můžete určit určitý vzor a na základě toho předpovědět výsledek událostí za jiných podmínek.

Abychom shrnuli všechny výše uvedené skutečnosti, teorie pravděpodobnosti v klasickém smyslu zkoumá možnost výskytu jedné z možných událostí v číselné hodnotě.

Ze stránek historie

Teorie pravděpodobnosti, vzorce a příklady prvních úkolů se objevila ve vzdáleném středověku, kdy se poprvé pokusily předpovědět výsledky karetních her.

Zpočátku teorie pravděpodobnosti neměla nic společného s matematikou. Byla založena na empirických faktech nebo vlastnostech události, která by mohla být v praxi reprodukována. První práce v této oblasti, podobně jako v matematické disciplíně, se objevily v 17. století. Blaise Pascal a Pierre Fermat se stali předky. Dlouhou dobu studovali hazardní hry a viděli určité vzorce, které se rozhodly říkat společnosti.

Christian Huygens vynalezl stejnou techniku, ačkoli nevěděl o výsledcích Pascala a Fermatu. Koncept "teorie pravděpodobnosti", vzorce a příklady, které jsou považovány za první v dějinách disciplíny, byl představen jím.

Neméně důležité jsou díla Jacob Bernoulli, Laplaceova a Poissonova věta. Udělali teorii pravděpodobnosti spíše jako matematická disciplína. Teorie pravděpodobnosti, vzorce a příklady základních úkolů dostaly svou současnou podobu díky Kolmogorovovým axiomům. V důsledku všech změn se teorie pravděpodobnosti stala jednou z matematických úseků.

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti. Události

Hlavním pojmem této disciplíny je "událost". Události jsou tři typy:

• Autentické. To, co se stane v každém případě (mince padne).
• Nemožné. Události, které se nestávají v žádném scénáři (mince zůstane viset ve vzduchu).
• Náhodně. Ty, které se stávají nebo se nestane. Mohou být ovlivněny různými faktory, které jsou velmi obtížné předvídat. Když hovoříme o minci, pak o náhodných faktorech, které mohou ovlivnit výsledek: fyzické vlastnosti mince, její tvar, počáteční pozice, házivost atd.

Všechny události v příkladech jsou označeny velkými latinskými písmeny, s výjimkou P, kterým je přiřazena jiná role. Například:

• A = "studenti přišli na přednášku."
• = "Studenti se nezúčastnili na přednášce."

V praktických úkolech jsou události obvykle psány slovy.

Jednou z nejdůležitějších vlastností událostí je jejich rovná příležitost. To znamená, že pokud otočíte minci, jsou všechny varianty původního pádu možné, dokud nepadne. Ale také události nejsou stejně možné. K tomu dochází, když někdo konkrétně ovlivňuje výsledek. Například "značené" hrací karty nebo kostky, ve kterých je těžiště posunuto.

Další události jsou kompatibilní a nekompatibilní. Kompatibilní události se navzájem nevylučují. Například:

• A = "student přišel na přednášku."
• B = "student přišel na přednášku".

Tyto události jsou nezávislé na sobě a vzhled jednoho z nich nemá vliv na vzhled druhého. Nekompatibilní události jsou dány tím, že vzhled jednoho vylučuje vzhled jiného. Pokud mluvíme o téže minci, pak ztráta "ocasu" znemožňuje, aby se "orol" objevil ve stejném experimentu.

Akce na událostech

Události mohou být vynásobeny a v disciplíně přidány logické svazky "AND" a "OR".

Částka je určena skutečností, že může dojít k události A, B nebo dvě. V případě, že jsou neslučitelné, druhá možnost je nemožná, buď A nebo B vypadnou.

Násobení událostí spočívá ve vzhledu A a B současně.

Nyní můžete uvést několik příkladů, abyste si lépe vzpomněli na základy, teorii pravděpodobnosti a vzorce. Příklady řešení problémů níže.

Úkol 1 : Společnost se účastní soutěže na zakázky na tři typy práce. Možné události, ke kterým může dojít:

• A = "firma obdrží první smlouvu."
• A ₁ = "firma neobdrží první smlouvu."
• B = "firma obdrží druhou zakázku."
• V ₁ = "firma neobdrží druhou zakázku"
• C = "firma obdrží třetí smlouvu."
• C ₁ = "firma neobdrží třetí smlouvu."

Pomocí akcí na události se snažíme vyjádřit následující situace:

• K = "firma obdrží všechny smlouvy."

V matematické podobě bude rovnice mít následující tvar: K = ABC.

• M = "firma nedostane jednu smlouvu."

M = A ₁ B ₁ C ₁ .

Složit úkol: H = "Společnost obdrží jednu zakázku." Vzhledem k tomu, že není známo, jakou smlouvu firma obdrží (první, druhá nebo třetí), je nutné zaznamenat celou řadu možných událostí:

H = A ₁ BC ₁ υ AB ₁ C ₁ υ A ₁ B ₁ C.

A ₁ př. Nl je řada událostí, kdy firma neobdrží první a třetí zakázku, ale obdrží druhé. Další možné události jsou zaznamenány odpovídajícím způsobem. Symbol υ v disciplíně označuje spoustu "OR". Pokud převedete daný příklad do lidského jazyka, pak firma obdrží buď třetí smlouvu, nebo druhou, nebo první. Stejně tak můžete zaznamenat další podmínky v disciplíně "Teorie pravděpodobnosti". Formulace a příklady řešení výše uvedených problémů vám pomohou sami.

Ve skutečnosti pravděpodobnost

Snad v této matematické disciplíně je pravděpodobnost události ústřední koncept. Existují 3 definice pravděpodobnosti:

• klasické
• statistické;
• geometrické.

Každý má své místo ve studiu pravděpodobností. Teorie pravděpodobnosti, vzorce a příklady (stupeň 9) využívají především klasickou definici, která zní takto:

• Pravděpodobnost situace A se rovná poměru počtu výsledků, které favorizují její výskyt, k počtu všech možných výsledků.

Vzorec vypadá takto: P (A) = m / n.

P znamená pravděpodobnost události A.

A - vlastně událost. Pokud existuje případ opačný k A, může být napsán jako A nebo A ₁ .

m je počet možných příznivých případů.

n - všechny události, které se mohou vyskytnout.

Například A = "vytáhněte kartu srdíčky". V standardním balíčku je 36 karet, z nichž 9 je v srdci. V souladu s tím bude vzorec pro řešení úkolu:

P (A) = 9/36 = 0,25.

V důsledku toho bude pravděpodobnost, že karta srdečního obleku bude vytažena z balíčku, bude 0,25.

Na vyšší matematiku

Nyní se stalo málo známo, jaká jsou teorie pravděpodobnosti, vzorce a příklady řešení úkolů, které se vyskytují v učebních osnovách. Teorie pravděpodobnosti se však nachází ve vyšších matematických oborech, které se vyučují na univerzitách. Nejčastěji pracují na geometrických a statistických definicích teorie a komplexních vzorcích.

Teorie pravděpodobnosti je velmi zajímavá. Vzorce a příklady (vyšší matematika) je lepší začít studovat z malého - se statistickou (nebo frekvenční) definicí pravděpodobnosti.

Statistický přístup není v rozporu s klasickým, ale mírně se rozšiřuje. Pokud bychom v prvním případě museli určit, jak pravděpodobná by se událost stala, pak je v této metodě nutné uvést, jak často se to stane. Zde představujeme nový koncept "relativní frekvence", který může být označen W _n (A). Vzorec se neliší od klasiky:

W _n (A) = m / n.

Je-li klasický vzorec vypočítán pro predikci, potom je statistický vzorec podle výsledků experimentu. Vezměte například malý úkol.

Oddělení kontroly procesů kontroluje kvalitu výrobků. Z 100 produktů bylo nalezeno 3 neštandardních. Jak zjistit pravděpodobnost frekvence kvalitního produktu?

A = "vznik kvalitního výrobku".

W _n (A) = 97/100 = 0,97

Četnost kvalitního zboží je tedy 0,97. Kde dostali 97? Ze 100 výrobků, které byly kontrolovány, 3 byly špatné kvality. Od 100 odečteme 3, dostaneme 97, to je množství kvalitního produktu.

Trochu o kombinatorikách

Další metoda teorie pravděpodobnosti se nazývá kombinátor. Jejím základním principem je to, že jestliže určitá volba A může být provedena různými způsoby a volba B je n různými způsoby, volba A a B může být provedena násobením.

Například z města A do města B vede 5 silnic. Od města B do města C vede 4 způsoby. Kolik způsobů získáte od města A do města C?

Je to jednoduché: 5x4 = 20, tedy dvacet různých způsobů, jak se dostat z bodu A do bodu C.

Zkusme to komplikovat. Kolik způsobů je možné hrát karty v solitér? V balíčku 36 karet je to výchozí bod. Chcete-li zjistit počet metod, musíte "odnést" jednu mapu od počátečního bodu a vynásobit.

To znamená, 36x35x34x33x32 ... x2x1 = výsledek se nevejde na obrazovku kalkulačky, takže ji můžete jednoduše označit 36! Znak "!" Značka vedle čísla označuje, že celý řádek čísel je násoben.

V kombinatoricích existují pojmy jako permutace, umístění a kombinace. Každý z nich má svůj vlastní vzorec.

Uspořádaná sada prvků sady se nazývá uspořádání. Umístění lze opakovat, to znamená, že jeden prvek může být použit několikrát. A bez opakování, když se prvky neopakují. n jsou všechny prvky, m jsou prvky, které se účastní umístění. Vzorec pro umístění bez opakování bude:

A _n ^m = n! / (Nm)!

Sloučeniny n elementů, které se liší pouze v pořadí umístění, se nazývají permutace. V matematice má formu: P _n = n!

Kombinace n prvků m jsou nazývány takovými sloučeninami, ve kterých je důležité, co to bylo a jaké je jejich celkové číslo. Vzorec bude:

A _n ^m = n! / M! (Nm)!

Bernoulliho vzorec

V teorii pravděpodobnosti, stejně jako v každé disciplíně, jsou práce vynikajících vědců ve své oblasti, které ji přinesly na novou úroveň. Jedna taková práce je Bernoulliho vzorec, který umožňuje určit pravděpodobnost určité události vyskytující se za nezávislých podmínek. To naznačuje, že vzhled A v experimentu nezávisí na vzhledu nebo nezobrazení stejné události v předchozích nebo následujících testech.

Bernoulliho rovnice:

= C _n ^m ×p ^m ×q ^nm . P _n (m) = C _n ^m × p ^m × q ^nm .

Pravděpodobnost (p) výskytu události (A) zůstává pro každou studii nezměněna. Pravděpodobnost, že se situace vyskytne přesně m časů v počtu experimentů, se vypočte podle výše uvedeného vzorce. Vzniká tak otázka, jak najít číslo q.

q = 1-p

Pokud se událost A vyskytne p několikrát, nemusí se to stát. Jednotka je číslo, které se používá k označení všech výsledků situace v disciplíně. Proto je q číslo, které označuje možnost, že událost nenastane.

Nyní znáte Bernoulliho vzorec (teorie pravděpodobnosti). Příklady řešení problémů (první úroveň) budou zvažovány dále.

Úloha 2: Návštěvník obchodu uskuteční nákup s pravděpodobností 0,2. 6 návštěvníků vstoupilo do obchodu nezávisle. Jaká je pravděpodobnost, že návštěvník provede nákup?

Řešení: Vzhledem k tomu, že není známo, kolik návštěvníků musí koupit jeden nebo všech šest, je nutné vypočítat všechny možné pravděpodobnosti pomocí vzorce Bernoulli.

A = "Návštěvník provede nákup."

V tomto případě: p = 0,2 (jak je uvedeno v přiřazení). Podle toho q = 1-0,2 = 0,8.

n = 6 (protože v obchodě je 6 návštěvníků). Číslo m se bude lišit od 0 (žádný zákazník neposkytuje nákup) až 6 (všichni návštěvníci obchodu dostanou něco). Výsledkem je řešení:

= C ₀ ⁶ ×p ⁰ ×q ⁶ =q ⁶ = (0,8) ⁶ P ₆ (0) = C ₀ ⁶ × p ⁰ × q ⁶ = q ⁶ = (0,8) ⁶ 0,2621. = 0,2621.

Žádný z kupujících nebude nakupovat s pravděpodobností 0,2621.

Jak jinak je použit Bernoulliho vzorec (teorie pravděpodobnosti)? Příklady řešení problému (druhá úroveň) níže.

Po výše uvedeném příkladu vznikají otázky o tom, kde C a p odešli. Relativní k p, číslo v stupni 0 se bude rovnat jednomu. Co se týče C, lze ho najít pomocí vzorce:

C _n ^m n! = n! m!(nm)! / m! (nm)!

Vzhledem k tomu, že v prvním příkladu m = 0, respektive C = 1, který v zásadě neovlivňuje výsledek. Použijeme-li nový vzorec, pokusme se zjistit, jaké je pravděpodobnost nákupu zboží dvěma návštěvníky.

= C ₆ ² ×p ² ×q ⁴ = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) ² P ₆ (2) = C ₆ ² × p ² × q ⁴ = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) ² (0,8) ⁴ × (0,8) ⁴ 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246. = 15 x 0,04 x 0,4096 = 0,246.

Teorie pravděpodobnosti není tak komplikovaná. Vzorec Bernoulli, jehož příklady jsou uvedeny výše, je přímým důkazem toho.

Poissonův vzorec

Poissonova rovnice se používá k výpočtu nepravděpodobné náhodné situace.

Základní vzorec:

P _n (m) = λ ^m / m! e ^(-λ) . × e ^(-λ) .

V tomto případě platí, že λ = n x p. Zde je jednoduchý vzor Poissona (teorie pravděpodobnosti). Příklady řešení problémů budou zvažovány později.

Úkol č. 3 : Výrobní části vyráběné ve výši 100 000 kusů. Vzhled vadných částí = 0,0001. Jaká je pravděpodobnost, že strana bude 5 vadných částí?

Jak vidíme, manželství je nepravděpodobná událost, a proto se pro výpočet používá formula Poisson (teorie pravděpodobnosti). Příklady řešení problémů tohoto typu se neliší od jiných úkolů oboru, ve výše uvedeném vzorci nahrazujeme potřebná data:

A = "náhodně zvolená část bude vadná."

p = 0,0001 (podle stavu úkolu).

n = 100 000 (počet dílů).

m = 5 (vadné části). Nahraďte údaje ve vzorci a získáme:

R _{100 000} (5) = 10 5/5! X e ^-10 = 0,0375.

Stejně jako vzorec Bernoulli (teorie pravděpodobnosti), příklady řešení s pomocí kterých jsou napsány výše, Poissonova rovnice má neznámé e. V podstatě lze ji najít podle vzorce:

^{λ λ} = lim _{n -> ∞} (1-λ / n) ⁿ .

Existují však speciální tabulky, ve kterých jsou umístěny téměř všechny hodnoty e.

Věta Moivard-Laplaceové

Pokud je v programu Bernoulli počet testů dostatečně velký a pravděpodobnost výskytu události A je stejná ve všech schématech, potom pravděpodobnost výskytu události A určitý počet opakování v sérii testů lze nalézt pomocí vzorce Laplace

P _n (m) = 1 / √npq x φ (Xm).

X _m = m-np / √npq.

Abychom lépe vzpomínali na vzorec Laplace (teorie pravděpodobnosti), příklady problémů, které nám pomohou níže.

Úkol 4: Reklamní agent distribuuje 800 letáků. Podle statistických studií každý třetí leták nachází svého spotřebitele. Jaká je pravděpodobnost, že budou pracovat přesně 267 letáků?

n = 800;

m = 267;

p = 1/3;

q = 2/3.

Nejprve nalezneme Xm, nahradíme data (všechny jsou uvedeny výše) do vzorce a dostaneme 0,025. Pomocí tabulek nalezneme číslo φ (0.025), jehož hodnota je 0.3988. Nyní můžete nahradit všechna data ve vzorci:

P ₈₀₀ (267) = 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Takže pravděpodobnost, že leták bude pracovat přesně 267 krát, je 0,03.

Formule Bayes

Bayesovský vzorec (teorie pravděpodobnosti), příklady řešených úkolů, s jejichž pomocí se uvede níže, je rovnice, která popisuje pravděpodobnost události na základě okolností, které by mohly být s ní spojeny. Základní vzorec je následující:

P (A | B) = P (B | A) x P (A) / P (B).

A a B jsou určité události.

P (A | B) je podmíněná pravděpodobnost, to znamená, že událost A může nastat, pokud je událost B pravdivá.

P (B | A) - podmíněná pravděpodobnost události B.

Takže poslední část malého kurzu "Teorie pravděpodobnosti" je formula Bayes, příklady řešení problémů, s nimiž se níže nachází.

Úloha 5 : Do skladu byly přivezeny telefony ze tří společností. Současně je část telefonů vyrobených v první továrně 25%, na druhé - 60%, na třetím - 15%. Je rovněž známo, že průměrné procento vadných výrobků v prvním továrně je 2%, v druhém 4% a ve třetím 1%. Je třeba najít pravděpodobnost, že náhodně vybraný telefon bude vadný.

A = "náhodně přijatý telefon".

B ₁ je telefon, který první továrna vyrobila. Proto budou uvedeny úvodní články B2 a ₃ (pro druhou a třetí továrnu).

Výsledkem je:

P (B1) = 25% / 100% = 0,25; P (B ₂ ) = 0,6; P (B ₃ ) = 0,15 - tak jsme zjistili pravděpodobnost každé možnosti.

Nyní musíte najít podmíněné pravděpodobnosti požadované události, tedy pravděpodobnost chybných produktů ve firmách:

P (A / B1) = 2% / 100% = 0,02;

P (A / B ₂ ) = 0,04;

P (A / B ₃ ) = 0,01.

Nyní nahrajeme data do vzorce Bayes a získáme:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Článek představuje teorii pravděpodobnosti, vzorce a příklady řešení problémů, ale to je jen špička ledovce rozsáhlé disciplíny. A po tom všem, co bylo napsáno, bude logické se ptát, zda je teorie pravděpodobnosti v životě nezbytná. Pro běžného člověka je obtížné odpovědět, je lepší požádat toho, kdo s ním opakovaně zlomil jackpot.