Trapézová oblast: vzorce a výpočetní metody

Aby se cítí sebevědomě a úspěšně řešit problémy v geometrické výuce, nestačí se naučit formule. Musí nejprve pochopit. Bát se, a ještě víc nenávistné vzorce, je neproduktivní. V tomto článku bude dostupný jazyk analyzovat různé způsoby, jak najít oblast lichoběžníku. Pro lepší zvládnutí příslušných pravidel a teorémů budeme věnovat určitou pozornost vlastnostem. To pomůže pochopit, jak fungují pravidla a v jakých případech by měly být tyto vzorce použity.

Určete lichoběžník

Co je toto číslo obecně? Trapezoid je polygon ze čtyř rohů se dvěma rovnoběžnými stranami. Ostatní dvě strany lichoběžníku mohou být nakloněny z různých úhlů. Jeho paralelní strany se nazývají základy a pro neparalelní strany se používá název "boky" nebo "boky". Takové postavy jsou běžné v každodenním životě. Obrysy lichoběžníku mohou být vidět v siluetách oblečení, interiérových předmětů, nábytku, nádobí a mnoha dalších. Trapezoid může mít různé typy: všestranný, rovnostranný a obdélníkový. Další podrobnosti o typech a vlastnostech budou popsány později v článku.

Vlastnosti lichoběžníku

Podívejme se stručně na vlastnosti tohoto čísla. Součet úhlů přiléhajících k jedné straně je vždy 180 °. Mělo by být poznamenáno, že všechny úhly lichoběžníku se zvyšují až o 360 °. Trapézum má koncept střední linie. Pokud propojíte středy bočních stran se segmentem, bude to střední řádek. Je označen m. Středová čára má důležité vlastnosti: je vždy rovnoběžná se základnami (pamatujeme si, že základy jsou rovnoběžné) a rovnají se jejich polovině:

m = (a + b) / 2.

Tato definice musí být naučena a pochopena, protože je klíčem k řešení mnoha problémů!

V lichoběžníku můžete vždy snížit výšku na základnu. Výška je kolmá, často označovaná symbolem h, která je čerpána z jakéhokoli bodu jedné základny na jinou základnu nebo její pokračování. Středová čára a výška pomohou najít oblast lichoběžníku. Takové úkoly jsou nejběžnější v kurzu geometrie školy a pravidelně se objevují mezi zkouškami a zkouškami.

Nejjednodušší vzorce trapézového prostoru

Podívejme se na dvě nejpopulárnější a nejjednodušší vzorce, pomocí kterých lze najít oblast lichoběžníku. Stačí vynásobit výšku polovičním součtem základů, abyste snadno našli požadované:

S = h * (a + b) / 2.

V tomto vzorci a, b označují základ lichoběžníku, h - výšku. Pro usnadnění vnímání jsou v tomto článku násobky označeny ve vzorcích symbolem (*), ačkoli v oficiálních referenčních knihách je obvykle vynecháno násobení.

Zvažte příklad.

Vzhledem k tomu, že lichoběžník má dvě základny rovnající se 10 a 14 cm, výška je 7 cm. Jaká je plocha lichoběžníku?

Podívejme se na řešení tohoto problému. Podle tohoto vzorce musíte nejprve najít polovinu součtu základů: (10 + 14) / 2 = 12. Takže polovina sumy se rovná 12 cm. Nyní vynásobíme poloviční sumu podle výšky: 12 * 7 = 84. Odpověď: plocha lichoběžníku je 84 metrů čtverečních. viz

Druhý dobře známý vzorec říká: plocha lichoběžníku se rovná součinu středové čáry a výšky lichoběžníku. To je ve skutečnosti z předchozí koncepce střední čáry: S = m * h.

Použití diagonálů pro výpočty

Jiný způsob, jak najít lichoběžníkovou oblast, není ve skutečnosti tak komplikovaný. Je spojena s jejími úhlopříčkami. Podle tohoto vzorce, pro nalezení oblasti, je třeba vynásobit poloviční produkt jeho úhlopříček (d ₁ d ₂ ) sinus úhlu mezi nimi:

S = ½ d ₁ d ₂ sin a.

Zvažte úlohu, která ukazuje použití této metody. Dané: lichoběžník s délkou úhlopříčky 8 a 13 cm. Úhel a mezi úhlopříčkami je 30 °. Najděte oblast lichoběžníku.

Rozhodnutí. Pomocí výše uvedeného vzorce lze snadno vypočítat požadované. Jak víte, hřích 30 ° je 0,5. Proto S = 8 * 13 * 0,5 = 52. Odpověď: plocha je 52 metrů čtverečních. viz

Hledáme prostor rovnostranného lichoběžníku.

Trapezoid může být rovnostranný (isosceles). Jeho strany jsou stejné a rohy v podstavcích jsou stejné, což je dobře ilustrováno výkresem. Rovnostranný lichoběžník má stejné vlastnosti jako běžný lichoběžník, plus řadu speciálních. Kruh může být popsán kolem ekvipolárního lichoběžníku a do něj může být vložen kruh.

Jaké jsou metody pro výpočet plochy takového čísla? Následující metoda bude vyžadovat velké výpočty. Chcete-li jej použít, potřebujete znát hodnoty sinus (sin) a kosinus (cos) úhlu v základu lichoběžníku. Pro jejich výpočet je zapotřebí buď Bradisovy stoly nebo inženýrská kalkulačka. Zde je tento vzorec:

S = c * sin sin * ( a - c * cos a ),

kde c je boční stehno, a je úhel na dolní základně.

Rovnostranný lichoběžník má diagonály stejné délky. Opačný je také pravdivý: jestliže je diagonální lichoběžník rovný, pak je to rovnoběžnost. Následující vzorec, který pomáhá nalézt plochu lichoběžníka, je polovina výrobku čtverce diagonálů v sine úhlu mezi nimi: S = ½ d ² sin a.

Najděte oblast obdélníkového lichoběžníku

Známý speciální případ obdélníkový lichoběžník. Toto je lichoběžník, ve kterém je jedna strana (stehna) přilehlá k podstavcům v pravém úhlu. Má vlastnosti obyčejného lichoběžníku. Kromě toho má velmi zajímavou vlastnost. Rozdíl čtverců diagonálů takového lichoběžníku se rovná rozdílu čtverců jeho základů. Pro tento účel používají všechny dříve popsané metody pro výpočet plochy.

Použijte vynalézavost

Existuje jeden trik, který může pomoci v případě zapomnění specifických formulací. Zvažte pečlivě, co lichoběžník. Pokud ho rozdělíme mentálně, budeme se seznámit a pochopit geometrické tvary: čtverec nebo obdélník a trojúhelník (jeden nebo dva). Pokud je známa výška a boční strany lichoběžníku, můžete použít vzorce prostor trojúhelníku a obdélník a poté doplňte všechny získané hodnoty.

Tento příklad ilustrujeme následujícím příkladem. S obdélníkovým lichoběžníkem. Úhel C = 45 °, úhly A, D jsou 90 °. Horní základna lichoběžníku je 20 cm, výška je 16 cm. Je třeba vypočítat plochu obrázku.

Řešení

Toto číslo zřejmě sestává z obdélníku (pokud jsou dva úhly 90 °) a trojúhelníku. Vzhledem k tomu, že lichoběžník je pravoúhlý, je jeho výška rovna jeho straně, tj. 16 cm. Máme obdélník s bočními stranami 20 a 16 cm. Zvažte nyní trojúhelník, jehož úhel je 45 °. Víme, že jedna strana je 16 cm Protože tato strana je současně s výškou lichoběžníku (a my víme, že výška klesá na základnu v pravém úhlu), proto je druhý úhel trojúhelníku 90 °. Zbývající úhel trojúhelníku je tedy 45 °. Důsledkem toho je, že získáme pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník, jehož dvě strany jsou stejné. To znamená, že druhá strana trojúhelníku se rovná výšce, tj. 16 cm. Zůstává vyčíslit plochu trojúhelníku a obdélníku a přidat získané hodnoty.

Plocha pravý trojúhelník (16 * 16) / 2 = 128. Plocha obdélníku se rovná dílu jeho šířky o délku: S = 20 * 16 = 320. Našli jsme požadovanou plochu lichoběžníku S = 128 + 320 = 448 čtverečních. viz.Můžete se snadno zkontrolovat pomocí výše uvedených vzorců, odpověď bude totožná.

Použijte vzorec Pick

Nakonec představíme další původní vzorec, který pomáhá najít oblast lichoběžníku. Říká se formulace Pick. Je výhodné jej použít, když je lichoběžník nakreslený na kartáčovaný papír. Podobné úkoly se často nacházejí v materiálech GIA. Vypadá to takto:

S = M / 2 + N-1,

v tomto vzorci M je počet uzlů, tj. průsečík čáry obrázku s čarami buňky na okrajích lichoběžníku (oranžové body na obrázku), N je počet uzlů uvnitř obrázku (modré tečky). Nejvhodnější je použít při hledání oblasti nepravidelného mnohoúhelníku. Nicméně, čím větší arzenál použitých metod, tím méně chyb a lepší výsledky.

Samozřejmě, že dané informace nejsou zdaleka vyčerpány typy a vlastnostmi lichoběžníku, stejně jako způsoby hledání jeho území. Tento článek poskytuje přehled nejdůležitějších vlastností. Při řešení geometrických problémů je důležité jednat postupně, začít s jednoduchými vzorci a úkoly, důsledně konsolidovat porozumění, přejít na jinou úroveň složitosti.

Sestavování nejběžnějších vzorců pomůže studentům orientovat se v různých způsobech výpočtu plochy lichoběžníků a lépe se připravit na testy a testy na toto téma.