Jak vypočítat úhly mezi vektory?

Při studiu geometrie vznikají spousta otázek na téma vektorů. Student má obtíže při hledání úhlů mezi vektory.

Základní pojmy

Před zvážením úhlů mezi vektory je nutné se seznámit s definicí vektoru a konceptem úhlu mezi vektory.

Vektor je segment, který má směr, tedy segment, pro který je definován jeho začátek a konec.

Úhel mezi dvěma vektory v rovině, které mají společný začátek, se nazývá menší z úhlů, o množství, které chcete přesunout jeden z vektorů kolem společného bodu, do polohy, kde se jejich směry shodují.

Vzorec pro řešení

Po pochopení toho, co je vektor a jak je určen jeho úhel, můžeme vypočítat úhel mezi vektory. Vzorec pro toto řešení je poměrně jednoduchý a výsledek jeho aplikace bude hodnota kosinusu úhlu. Podle definice se rovná konkrétnímu skalárnímu produktu vektorů a výsledku jejich délky.

Skalární produkt vektorů se považuje za součet odpovídajících souřadnic vektorových faktorů vynásobených vzájemně. Délka vektoru nebo jeho modulu se vypočítá jako druhá odmocnina od součtu čtverců jeho souřadnic.

Po získání hodnoty kosinusu úhlu lze velikost samotného úhlu vypočítat pomocí kalkulačky nebo pomocí trigonometrické tabulky.

Příklad

Jakmile pochopíte, jak vypočítat úhel mezi vektory, řešení odpovídajícího problému se stane jednoduchým a přímočarým. Jako příklad stojí za zmínku jednoduchý úkol zjistit velikost úhlu.

Nejdříve bude vhodnější vypočítat potřebné hodnoty pro řešení délek vektorů a jejich skalárních produktů. Pomocí výše uvedeného popisu získáváme:

Nahrazením získaných hodnot do vzorce vypočteme kosinus požadovaného úhlu:

Toto číslo není jedna z pěti společných hodnot kosinusu, takže abyste získali úhel, budete muset použít kalkulačku nebo trigonometrický stůl Bradis. Ale než se dostaneme do úhlu mezi vektory, může být vzorec zjednodušen, aby se zbavil extra negativního znamení:

Konečná odpověď na zachování přesnosti může být ponechána v této podobě a vypočítáte úhel ve stupních. Podle tabulky Bradis bude jeho hodnota přibližně 116 stupňů a 70 minut a kalkulačka bude mít hodnotu 116,57 stupňů.

Vypočtěte úhel v n-dimenzionálním prostoru

Při zvažování dvou vektorů v trojrozměrný prostor je mnohem obtížnější pochopit, který roh je v pochybnost, pokud neleží ve stejné rovině. Chcete-li zjednodušit vnímání, můžete nakreslit dva protínající se segmenty, které tvoří nejmenší úhel mezi nimi a bude to požadované. Navzdory přítomnosti třetí souřadnice ve vektoru se proces výpočtu úhlů mezi vektory nezmění. Vypočítat skalární produkt a moduly vektorů, obloukové kosinus jejich soukromí a bude odpovědí na tento problém.

V geometrii jsou často problémy s prostorem, který má více než tři rozměry. Ale pro ně algoritmus pro nalezení odpovědi vypadá stejně.

Rozdíl mezi 0 a 180 stupni

Jednou z nejčastějších chyb při psaní odpovědi na problém určený k výpočtu úhlu mezi vektory je rozhodnutí zapsat, že jsou vektory paralelní, to znamená, že požadovaný úhel se ukázal být 0 nebo 180 stupňů. Tato odpověď je nesprávná.

Po získání hodnoty úhlu 0 stupňů podle výsledků rozhodnutí by správnou odpovědí bylo označit vektory jako společné, to znamená, že vektory budou mít stejný směr. V případě 180 stupňů budou vektory opačně směrovány.

Specifické vektory

Při hledání úhlů mezi vektory můžete najít jeden ze speciálních typů, kromě výše popsaných směrových a opačně orientovaných.

• Několik vektorů rovnoběžných s jednou rovinou se nazývá koplanární.
• Vektory stejné délky a směru se nazývají stejné.
• Vektory ležící na jedné přímce, bez ohledu na směr, se nazývají kolineární.
• Je-li délka vektoru nula, to znamená, že její začátek a konec se shodují, pak se nazývá nula a pokud je jedna, pak je jednotka.